Description
In diesem ersten Lehrbuch ber Randelementmethoden werden schnelle numerische Lsungsverfahren entwickelt und analysiert. Darber hinaus wird auch die effiziente Implementierung thematisiert, wobei besonderer Wert auf eine mathematisch-saubere Herleitung und Analyse der Integralgleichungen gelegt wird. Im Vordergrund steht die Galerkin-Diskretisierung der Integralgleichungen mit Randelementen, die fr die meisten Anwendungen die geeignetste Diskretisierungsmethode ist. Eine Zielsetzung der Darstellung ist es, fr alle Teilschritte der Methode (Berechnung der Matrixkoeffizienten, schwachbesetzte Darstellung des nicht-lokalen Operators, Lsung der linearen Gleichungssysteme) effiziente Algorithmen anzugeben und zu analysieren. Das Buch bietet verschiedene Varianten zur Konzeption einer Vorlesung und eignet sich auch fr ein Selbststudium. Prof. Dr. Stefan Sauter, Universitt Zrich Prof. Dr. Christoph Schwab, ETHZ Zrich 1 Einfhrung.- 1.1 Das Konzept der Randelementmethode.- 1.1.1 Grundbegriffe.- 1.1.2 Ein physikalisches Beispiel.- 1.1.3 Fundamentallsungen.- 1.1.4 Potentiale und Randintegraloperatoren.- 1.2 Numerik von Randintegralgleichungen.- 1.2.1 Galerkin-Verfahren.- 1.2.2 Effiziente Verfahren zur Lsung der Galerkin-Gleichungen.- 1.2.2.1 Quadraturverfahren.- 1.2.2.2 Lsen des linearen Gleichungssystems.- 1.2.2.3 Panel-Clustering.- 2 Elliptische Differentialgleichungen.- 2.1 Funktionalanalytische Grundlagen.- 2.1.1 Banach- und Hilbert-Rume.- 2.1.1.1 Normierte Rume.- 2.1.1.2 Lineare Operatoren.- 2.1.1.3 Banach-Rume.- 2.1.1.4 Einbettungen.- 2.1.1.5 Hilbert-Rume.- 2.1.2 Dualrume.- 2.1.2.1 Dualraum eines normierten, linearen Raumes.- 2.1.2.2 Dualer Operator.- 2.1.2.3 Adjungierter Operator.- 2.1.2.4 Gelfand-Dreier.- 2.1.2.5 Schwache Konvergenz.- 2.1.3 Kompakte Operatoren.- 2.1.4 Fredholm-Riesz-Schauder-Theorie.- 2.1.5 Bilinear- und Sesquilinearformen.- 2.1.6 Existenzstze.- 2.1.7 Interpolationsrume.- 2.2 Geometrische Grundlagen.- 2.2.1 Funktionenrume.- 2.2.2 Glattheit von Gebieten.- 2.2.3 Normalenvektoren.- 2.2.4 Randintegrale.- 2.3 Sobolev-Rume auf Gebieten ?.- 2.4 Sobolev-Rume auf Oberflchen ?.- 2.4.1 Definition der Sobolev-Rume auf ?.- 2.4.2 Sobolev-Rume auf ?0 ? ?.- 2.5 Einbettungsstze.- 2.6 Spur-Operatoren.- 2.7 Greensche Formeln und Normalenableitungen.- 2.8 Der Lsungsoperator.- 2.9 Elliptische Randwertprobleme.- 2.9.1 Klassische Formulierung elliptischer Randwertprobleme.- 2.9.1.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem (IDP).- 2.9.1.2 Inneres Neumann-Randwertproblem (INP).- 2.9.1.3 Gemischtes inneres Randwertproblem (IDNP).- 2.9.1.4 ueres Dirichlet-Randwertproblem (DP).- 2.9.1.5 ueres Neumann-Randwertproblem (NP).- 2.9.1.6 Gemischtes ueres Randwertproblem (DNP).- 2.9.1.7 Transmissionsproblem (TP).- 2.9.2 Variationsformulierung elliptischer Randwertprobleme.- 2.9.2.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem (IDP).- 2.9.2.2 Inneres Neumann-Randwertproblem (INP).- 2.9.2.3 Gemischtes inneres Randwertproblem (IDNP).- 2.9.2.4 Funktionenrume fr Auenraumprobleme.- 2.9.2.5 ueres Dirichlet-Randwertproblem (DP).- 2.9.2.6 ueres Neumann-Randwertproblem (NP).- 2.9.2.7 Gemischtes ueres Randwertproblem (DNP).- 2.9.2.8 Transmissionsproblem (TP).- 2.9.3 quivalenz von starker und schwacher Formulierung.- 2.9.3.1 Innenraumprobleme.- 2.9.3.2 Auenraumprobleme.- 2.10 Existenz und Eindeutigkeit.- 2.10.1 Innenraumprobleme.- 2.10.1.1 Inneres Dirichlet-Randwertproblem.- 2.10.1.2 Inneres Neumann-Randwertproblem.- 2.10.1.3 Gemischtes inneres Randwertproblem.- 2.10.2 Auenraumprobleme.- 2.10.2.1 Allgemeiner elliptischer Operator mit aminc > ?b?2.- 2.10.2.2 Laplace-Operator.- 2.10.2.3 Helmholtz-Gleichung.- 3 Elliptische Randintegralgleichungen.- 3.1 Randintegraloperatoren.- 3.1.1 Das Newton-Potential.- 3.1.2 Abbildungseigenschaften der Randintegraloperatoren.- 3.2 Regularitt der Lsungen der Randintegralgleichungen.- 3.3 Sprungrelationen und Darstellungsformeln.- 3.3.1 Sprungeigenschaften der Potentiale.- 3.3.2 Explizite Darstellung des Randintegraloperators V.- 3.3.3 Explizite Darstellungen der Randintegraloperatoren K und K?.- 3.3.4 Explizite Darstellung des Randintegraloperators W.- 3.4 Integralgleichungen fr elliptische Randwertprobleme.- 3.4.1 Die indirekte Methode.- 3.4.1.1 Innenraumprobleme.- 3.4.1.2 Auenraumprobleme.- 3.4.1.3 Transmissionsproblem.- 3.4.2 Die direkte Methode.- 3.4.2.1 Innenraumprobleme.- 3.4.2.2 Auenraumprobleme.- 3.4.3 Vergleich der direkten und indirekten Formulierungen.- 3.5 Eindeutige Lsbarkeit der Randintegralgleichungen.- 3.5.1 Existenz und Eindeutigkeit fr geschlossene Oberflchen und Dirichlet- oder Neumann-Randbedingungen.- 3.5.2 Existenz- und Eindeutigkeit fr das gemischte Randwertproblem.- 3.5.3 Schirmproblem.- 3.6 Caldern-Projektor.- 3.7 Poincar-Steklov-Operator.- 3.8 Invertierbarkeit von Randintegraloperatoren 2. Art.- 3.9 Randintegralgleichungen zur Helmholtz-Gleichung.- 3.9.1 Helmholtz-Gleichung.- 3.9.2 Integralgleichungen und Resonanzen.- 3.9.3 Existenz von Lsungen des Aussenraumproblems.- 3.9.4 Modifizierte Randintegralgleichungen.- 4 Randelementmethoden.- 4.1 Randelemente fr die Potentialgleichung in ?3.- 4.1.1 Modellproblem 1: Dirichlet-Problem.- 4.1.2 Paneelierungen.- 4.1.3 Unstetige Randelemente.- 4.1.4 Galerkin-Randelementmethode.- 4.1.5 Konvergenzrate unstetiger Randelemente.- 4.1.6 Modellproblem 2: Neumann Problem.- 4.1.7 Stetige Randelemente.- 4.1.8 Galerkin-BEM mit stetigen Randelementen.- 4.1.9 Konvergenzraten mit stetigen Randelementen.- 4.1.10 Modellproblem 3: Gemischtes Randwertproblem.- 4.1.11 Modellproblem 4: Schirmprobleme.- 4.2 Konvergenz abstrakter Galerkin-Verfahren.- 4.2.1 Abstraktes Variationsproblem.- 4.2.2 Galerkin-Approximation.- 4.2.3 Kompakte Strungen.- 4.2.4 Konsistente Strungen. Lemma von Strang.- 4.2.5 Aubin-Nitsche-Dualittstechnik.- 4.2.5.1 Fehler in Funktionalen der Lsung.- 4.2.5.2 Strungen.- 4.3 Beweis der Approximationseigenschaft.- 4.3.1 Approximationseigenschaften auf ebenen Paneelen.- 4.3.2 Approximation auf gekrmmten Paneelen.- 4.3.3 Stetigkeit von Funktionen in Hstws (?) fr s > 1.- 4.3.4 Approximationseigenschaften von SGp,?1.- 4.3.5 Approximationseigenschaften von SGp,0.- 4.4 Inverse Abschtzungen.- 4.5 Kondition der Systemmatrizen.- 5 Berechnung der Matrixkoeffizienten.- 5.1 Kernfunktionen und stark singulre Integrale.- 5.1.1 Geometrische Voraussetzungen.- 5.1.2 Cauchy-singulre Integrale.- 5.1.3 Explizite Voraussetzungen an Cauchy-singulre Kernfunktionen.- 5.1.4 Kernfunktionen in lokalen Koordinaten.- 5.2 Relativkoordinaten.- 5.2.1 Der Fall identischer Paneele.- 5.2.2 Der Fall einer gemeinsamen Kante.- 5.2.3 Der Fall eines gemeinsamen Punktes.- 5.2.4 berblick: Regularisierende Koordinatentransformationen.- 5.2.5 Berechnung der rechten Seite und des integralfreien Terms.- 5.3 Numerische Integration.- 5.3.1 Numerische Quadraturverfahren.- 5.3.1.1 Einfache Quadraturverfahren.- 5.3.1.2 Tensor-Gau-Quadratur.- 5.3.2 Lokale Quadraturfehlerabschtzungen.- 5.3.2.1 Lokale Fehlerabschtzungen fr einfache Quadraturverfahren..- 5.3.2.2 Ableitungsfreie Quadraturfehlerabschtzungen fr analytische Integranden.- 5.3.2.3 Abschtzung der Analytizittsellipsen der regularisierten Integranden.- 5.3.2.4 Quadraturordnungen fr regularisierte Kernfunktionen.- 5.3.3 Einflu der Quadratur auf den Diskretisierungsfehler.- 5.3.4 berblick ber die Quadraturordnungen fr das Galerkin-Verfahren mit Quadratur.- 5.3.4.1 Integralgleichungen negativer Ordnung.- 5.3.4.2 Gleichungen nullter Ordnung.- 5.3.4.3 Gleichungen positiver Ordnung.- 6 Lsung der linearen Gleichungssysteme.- 6.1 cg-Verfahren.- 6.1.1 cg-Grundalgorithmus.- 6.1.2 Vorkonditionierungsverfahren.- 6.1.3 Orthogonalittsrelationen.- 6.1.4 Konvergenzrate des cg-Verfahrens.- 6.1.5 Verallgemeinerungen.- 6.2 Abstiegsverfahren fr nichtsymmetrische Systeme.- 6.2.1 Abstiegsverfahren.- 6.2.2 Konvergenzrate von MR und Orthomin(k).- 6.3 Iterative Lser fr Gleichungen negativer Ordnung.- 6.4 Iterative Lser fr Gleichungen positiver Ordnung.- 6.4.1 Integralgleichungen positiver Ordnung.- 6.4.2 Iterationsverfahren.- 6.4.3 Mehrgitterverfahren.- 6.4.3.1 Motivation.- 6.4.3.2 Mehrgitteralgorithmus fr Integralgleichungen positiver Ordnung.- 6.4.3.3 Geschachtelte Iteration.- 6.4.3.4 Konvergenzanalyse fr Mehrgitterverfahren.- 6.5 Mehrgitterverfahren fr Gleichungen negativer Ordnung.- 7 Panel-Clustering.- 7.1 Der Panel-Clustering-Algorithmus.- 7.1.1 Voraussetzungen an den Integraloperator.- 7.1.2 Clusterbaum und zulssige berdeckung.- 7.1.3 Approximation der Kernfunktion.- 7.1.3.1 ?ebySev-Interpolation.- 7.1.3.2 Multipol-Entwicklung.- 7.1.3.3 Abstrakte Panel-Clustering-Approximation.- 7.1.4 Die Matrix-Vektor-Multiplikation im Panel-Clustering-Format.- 7.1.4.1 Berechnung der Fernfeldkoeffizienten.- 7.1.4.2 Cluster-Cluster-Wechselwirkung.- 7.1.4.3 Auswertung der Panel-Clustering-Approximation einer Matrix-Vektor-Multiplikation.- 7.1.4.4 Algorithmische Beschreibung des Panel-Clustering-Verfahrens.- 7.2 Realisierung der Teilalgorithmen.- 7.2.1 Algorithmische Realisierung der ?ebySev-Approximation.- 7.2.2 Entwicklung mit variabler Ordnung.- 7.3 Fehleranalyse fr das Panel-Clustering-Verfahren.- 7.3.1 Lokale Fehlerabschtzungen.- 7.3.1.1 Lokale Fehlerabschtzung fr die ?ebySev-Interpolation..- 7.3.2 Globale Fehlerabschtzungen.- 7.3.2.1 L2-Abschtzungen des Panel-Clustering-Fehlers ohne partielle Integration.- 7.3.2.2 L2-Abschtzungen des Panel-Clustering-Fehlers mit partieller Integration.- 7.3.2.3 Stabilitt und Konsistenz fr das Panel-Clustering-Verfahren..- 7.4 Der Aufwand der Panel-Clustering-Methode.- 7.4.1 Anzahl der Cluster und Blcke.- 7.4.2 Der algorithmische Aufwand der Panel-Clustering-Methode.- 7.5 Panel-Clustering fr Kollokationsverfahren.- Liste der Symbole.
