Description
Dieses Buch besteht aus 16 Paragraphen, die in Niveau und Zielstel lung ziemlich unterschiedlich sind: Die Paragraphen 1-5 sind auf die Bediirfnisse der theoretischen Chemiker zugeschnitten. Sie legen den auf F’ROBENIUS zuriickgehenden Zusammen hang dar, der zwischen linearen Darstellungen und Charakteren besteht. Es handelt sich hierbei urn grundlegende Ergebnisse, die nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Quantenchemie oder in der Physik standige Anwendung finden. lch habe versucht, hiervon moglichst ele mentare Beweise zu geben, ohne mehr als die Gruppendefinition und die einfachsten Sachverhalte aus der linearen Algebra heranzuziehen. Ais Beispiele ( 5) sind solche gewahlt, die fUr die Chemiker von Nutzen sind. Die Paragraphen 6-12 geben den lnhalt eines Kurses wieder, den ich 1966 fUr die Stundenten des zweiten Studienjahres der Ecole Normale gehalten habe. Sie vervollstandigen 1 bis 5 in folgenden Punkten: a) Grade der Darstellungen und Ganzheitseigenschaften der Charaktere ( 6). b) lnduzierte Darstellungen, Satze von ABTIN und von BRAUER so wie Anwendungen ( 7 bis ll). c) Darstellungen iiber einen Korper der Charakteristik Null ( 12). Die verwendeten Hilfsmittel sind hierbei die der linearen Algebra (in einem weiteren Sinne als in 1 bis 5); Gruppenalgebren, Moduln, nicht kommutative Tensorprodukte, halbeinfache Algebren. Der zweite Teil ist der Text einer Seminarausarbeitung iiber die BRAUER sche Theorie: Dbergang von der Charakteristik 0 zur Charakteristik p (und umgekehrt). lch bediene mich hierbei ungezwungen der Sprache der ABELSchen Kategorien (projektive Objekte, GROTHENDIEcK-Gruppen), die dieser Fragestellung gut angepaBt ist. Einfhrung.- I: Darstellungen und Charaktere.- 1. Allgemeines ber lineare Darstellungen.- 1.1. Definitionen.- 1.2. Erste Beispiele.- 1.3. Teildarstellungen.- 1.4. Irreduzible Darstellungen.- 1.5. Tensorprodukt zweier Darstellungen.- 2. Theorie der Charaktere.- 2.1. Der Charakter einer Darstellung.- 2.2. Das Schursche Lemma – erste Anwendungen.- 2.3. Die Orthogonalittsrelationen der Charaktere.- 2.4. Zerlegung der regulren Darstellung.- 2.5. Anzahl der irreduziblen Darstellungen.- 2.6. Die kanonische Zerlegung einer Darstellung.- 3. Ergnzungen.- 3.1. Kommutative Gruppen.- 3.2. Produkt zweier Gruppen.- 4. Erweiterung auf kompakte Gruppen.- 4.1. Kompakte Gruppen.- 4.2. Invariantes Ma auf einer kompakten Gruppe.- 4.3. Lineare Darstellungen kompakter Gruppen.- 5. Beispiele.- 5.1. Die zyklische Gruppe Cn.- 5.2. Die Gruppe C?.- 5.3. Die Diedergruppe Dn.- 5.4. Die Gruppe Dnh.- 6.5. Die Gruppe D?.- 5.6. Die Gruppe D? h.- 6. Grade der irreduziblen Darstellungen.- 6.1. Gruppenring.- 6.2. Ganze Elemente.- 6.3. Ganzheitseigenschaften der Charaktere.- 6.4. Grade der irreduziblen Darstellungen.- 7. Induzierte Darstellungen.- 7.1. Definition.- 7.2. Charakter einer induzierten Darstellung.- 7.3. Frobeniussches Reziprozittsgesetz.- 7.4. Einschrnkung auf Untergruppen.- 7.5. Irreduzibilittskriterium von Mackey.- 8. Satz von Artin.- 8.1. Erster Beweis.- 8.2. Zweiter Beweis von (1) ? (2).- 9. Anwendungen der induzierten Darstellungen.- 9.1. Invariante Untergruppen und Anwendungen auf die Grade der irreduziblen Darstellungen.- 9.2. Semidirekte Produkte.- 9.3. Hinweis auf gewisse Klassen von Untergruppen.- 9.4. Satz von Sylow.- 9.5. Darstellungen der berauflsbaren Gruppen.- 10. Satz von Brauer.- 10.1. p-elementare Gruppen.- 10.2. p-regulre Elemente.- 10.3. Konstruktion spezieller Charaktere.- 10.4. Beweis von Satz 21.- 10.5. Satz von Brauer.- 11. Anwendungen des Satzes von Brauer.- 11.1. Charakterisierung der Charaktere.- 11.2. Umkehrung des Satzes von Brauer.- 11.3. Spektrum von R(G) ? A.- 12. Rationalitt der Darstellungen.- 12.1. Die Ringe RK(O) und R?K(G).- 12.2. Ein Satz von Brauer.- 12.3. Der Rang der Gruppe RK(G).- 12.4. Ein Analogom des Satzes von Brauer.- 12.5. Der Fall des Krpers der rationalen Zahlen.- 12.6. Der Fall des Krpers der reellen Zahlen.- II: Einfhrung in die Brauersche Theorie.- 1. Die Gruppen RK(G), Rk(G) und Pk(G).- 1.1. Bezeichnungen und Vereinbarungen.- 1.2. Die Ringe RK(G) und Rk(G).- 1.3. Die Gruppen Pk(G) und PA(G).- 1.4. Struktur von Pk(G).- 1.5. Struktur von PA(G).- 1.6. Dualitt.- 1.7. Erweiterung des Skalarenbereichs.- 2. Das Dreieck cde.- 2.1. Definition von c: Pk(G) ? Rk(G).- 2.2. Definition von d: Rk(G) ? Rk(G).- 2.3. Definition von s: Pk(G) ? Rk(G).- 2.4. Erste Eigenschaften des Dreiecks cde.- 2.5. Ein trivialer Fall.- 2.6. Der Fall der p-Gruppen.- 3. Stze.- 3.1. Eigenschaften des Dreiecks cde.- 3.2. Charakterisierung des Bildes von e.- 3.3. Charakterisierung der projektiven A[G]-Moduln durch ihren Charakter.- 3.4. Anwendung auf die Artinschen Darstellungen.- 4. Beweise.- 4.1. Relationen fr die Untergruppen.- 4.2. Der Satz von Brauer.- 4.3. Beweis von Satz 1.- 4.4. Beweis der Stze 2 und 2?.- 4.5. Beweis des Satzes von Fong-Swan.- 4.6. Surjektivitt des Zerlegungshomomorphismus (allgemeiner Fall).- Anhang – Modulare Charaktere.- Nachtrag – Einige Definitionen.
