Description
Das vorliegende Bueh ist aus einer Vorlesung uber Infinitesimalreehnung fUr Studienanfiinger hervorgegangen. Der Student der Mathematik oder Physik beginnt bisher das Studium der Mathematik in der Regel mit zwei parallel laufenden Vor lesungen uber Infinitesimalrechnung und uber lineare Algebra (fruher meistens als analytische Geometrie bezeiehnet). Die beiden Vorlesungen sind nieht unabhiingig voneinander. Insbesondere kann man in der Infinitesimalreehnung jeweils das, was aus der linearen Algebra benotigt wird (wie Vektoren, Matrizen, Determinanten usw. ), als bekannt voraussetzen. Urn nieht bei elementaren Saehverhalten auf zu siitzliehe Literatur verweisen zu mussen, werden hier die (nicht sehr umfangreiehen) Hilfsmittel aus der linearen Algebra, die dauernd benutzt werden, innerhalb der Darstellung mitentwickelt. (Das entspricht auch der tatsiichlich gehaltenen Vorlesung, da im Wintersemester 1966/67 wegen der Ungunst der Verhiiltnisse eine Parallelvor lesung uber lineare Algebra erst ein Semester spiiter beginnen konnte. ) Hilfsmittel aus der linearen Algebra, die nur an einzelnen Stellen benotigt werden (wie Matrizen und Determinanten), sind in einem gesonderten Paragraphen (mit kurzen Beweisen) zusammengestellt. Auch sonst werden an keiner Stelle spezielle Kenntnisse (auch nicht aus dem Schulunterricht!) vorausgesetzt. Besonderen Wert habe ich auf eine ausfUhrliche Erorterung der Grundbegriffe gelegt. Es durfte klar sein, daB man eine Einfiihrung in die Infinitesimalrechnung weder mit Logistik noeh mit axiomatischer Mengenlehre beginnen kann. DemgemiiB werden Logik und Mengenlehre yom “naiven” Standpunkt aus behandelt. 1. Grundbegriffe.- 1.1. Der mathematische Sprachgebrauch.- 1.2. Mengen.- 1.3. Kreuzprodukte, Relationen und Funktionen.- 1.4. Abbildungen.- 2. Gruppen, Ringe und Krper.- 2.1. Verknpfungen und Halbgruppen.- 2.2. Gruppen.- 2.3. Ringe und Krper.- 3. Ordnungsrelationen.- 3.1. Geordnete Mengen.- 3.2. Angeordnete Krper.- 4. Die natrlichen Zahlen.- 4.1. Peano-Axiome und vollstndige Induktion.- 4.2. Die Anordnung der natrlichen Zahlen.- 4.3. Definition durch vollstndige Induktion.- 4.4. Natrliche Zahlen in angeordneten Krpern.- 4.5. Die Anzahl der Elemente einer Menge.- 4.6. Produktzeichen und Summenzeichen.- 4.7. Teilbarkeit und Primfaktorzerlegung in N.- 5. Rationale, reelle und komplexe Zahlen.- 5.1. Die rationalen Zahlen.- 5.2. Die reellen Zahlen.- 5.3. Die komplexen Zahlen.- 6. Metrik und Topologie.- 6.1. Absolutbetrge.- 6.2. Metrische Rume.- 6.3. Topologische Rume.- 6.4. Stetige Abbildungen.- 6.5. Produktrume.- 6.6. Einige elementare stetige Abbildungen.- 6.7. Zusammenhngende Mengen.- 6.8. Logarithmus und allgemeine Potenz :.- 7. Ergnzungen zu 1.-6..- 7.1. Logik.- 7.2. Mengenlehre.- 7.3. Binomischer Satz und geometrische Reihe.- 7.4. Auswahlaxiom und Zornsches Lemma.- 7.5. Kardinalzahlen.- 7.6. Topologie.- 7.7. Besonderheiten der Topologie auf R.- 7.8. Metrische Rume.- 7.9. Vektorrume.- 8. Grenzwerte.- 8.1. Umgebungen.- 8.2. Raster und Filter.- 8.3. Raster auf R und R.- 8.4. Der Grenzwert.- 8.5. Grenzwerte von Funktionen und Abbildungen.- 8.6. Rechenregeln fr Grenzwerte.- 8.7. Grenzwerte in R.- 8.8. Die unendliche geometrische Reihe.- 8.9. Die Exponentialfunktion in R.- 9. Spezielle Stze ber Grenzwerte.- 9.1. Cauchysches Konvergenzkriterium.- 9.2. Kompakte Rume.- 9.3. Iterierte Grenzwerte.- 9.4. Gleichmige Konvergenz.- 9.5. Folgen und Reihen in Banachrumen.- 9.6. Konvergenzkriterien.- 9.7. 0 und o.- 10. Stetige Abbildungen.- 10.1. Fortsetzung stetiger Abbildungen.- 10.2. Folgen stetiger Abbildungen.- 10.3. Lineare Abbildungen.- 10.4. Lineare Abbildungen in Banachrume.- 10.5. Banachalgebren.- 10.6. Hilfsmittel aus der linearen Algebra.- 11. Differentiation.- 11.1. Die Ableitung.- 11.2. Differentiationsregeln.- 11.3. Der Schrankensatz.- 11.4. Anwendungen des Schrankensatzes.- 11.5. Injektive und surjektive Ableitungen.- 11.6. Hhere Ableitungen und partielle Ableitungen.- 11.7. Spezielle Bezeichnungen.- 12. Anwendungen der Differentiation.- 12.1. Extremwerte und Mittelwertsatz.- 12.2. Die Regeln von de l’Hospital.- 12.3. Taylorreihen.- 12.4. Die Exponentialfunktion.- 12.5. Kreis- und Hyperbelfunktionen.- 12.6. Die binomische Reihe.- 12.7. Der Satz von Stone und Weierstra.- 12.8. Implizite Funktionen.- 13. Cauchy-Integrale.- 13.1. Stammfunktionen.- 13.2. Sprungstetige Abbildungen (Regelfunktionen).- 13.3. Das Cauchy-Integral.- 13.4. Das Riemannsche Integral.- 13.5. Integrationsregeln.- 13.6. Integration bei Abhngigkeit von Parametern.- 13.7. Uneigentliche Integrale.- 13.8. Mehrfache Integrale.- 13.9. Die Lnge einer Kurve.- 14. Lebesgue-Integrale.- 14.1. Daniell-Integrale.- 14.2. Nullmengen.- 14.3. Konvergenzstze fr Daniell-Integrale.- 14.4. Lebesgue-Integrale.- 14.5. Konvergenzstze fr Lebesgue-Integrale.- 14.6. Vergleich von Lebesgue-Integralen.- 14.7. Produktintegrale.- 14.8. Die Transformationsformel.- 14.9. Fourierreihen.- Namen- und Sachverzeichnis.
