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47 brauchen nur den Nenner n so groB zu wahlen, daB das Intervall [0, Ijn] kleiner wird als das fragliche Intervall [A, B], dann muB mindestens einer der Bruche mIn innerhalb des Intervalls liegen. Also kann es kein noch so kleines Intervall auf der Achse geben, das von rationalen Punkten frei ware. Es folgt weiterhin, daB es in jedem Intervall unendlich viele rationale Punkte geben muB; denn wenn es nur eine endliche Anzahl gabe, so konnte das Intervall zwischen zwei beliebigen benachbarten Punkten keine rationalen Punkte enthalten, was, wie wir eben sahen, unmoglich ist. 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff 1. Einleitung Vergleicht man zwei Strecken a und b hinsichtlich ihrer GroBe, so kann es vor kommen, daB a in b genau r-mal enthalten ist, wobei r eine ganze Zahl darstellt. In diesem Fall konnen wir das MaB der Strecke b dUrch das von a ausdrucken, indem wir sagen, daB die Lange von b das r-fache der Lange von a ist. Oder es kann sich zeigen, daB man, wenn auch kein ganzes Vielfaches von a genau gleich b ist, doch a in, sagen wir, n gleiche Strecken von der Lange ajn teilen kann, so daB ein ganzes Vielfaches m der Strecke ajn gleich b wird: b=!!!…-a. Erstes Kapitel Die natrlichen Zahlen.- 1. Das Rechnen mit ganzen Zahlen.- 1. Gesetze der Arithmetik.- 2. Darstellung der positiven ganzen Zahlen.- 3. Das Rechnen in nichtdezimalen Systemen.- 2. Die Unendlichkeit des Zahlensystems. Mathematische Induktion.- 1. Das Prinzip der mathematischen Induktion.- 2. Die arithmetische Reihe.- 3. Die geometrische Reihe.- 4. Die Summe der ersten n Quadrate.- 5. Eine wichtige Ungleichung.- 6. Der binomische Satz.- 7. Weitere Bemerkungen zur mathematischen Induktion.- Ergnzung zu Kapitel I. Zahlentheorie.- 1. Die Primzahlen.- 1. Grundtatsachen.- 2. Die Verteilung der Primzahlen.- a) Formeln zur Konstruktion von Primzahlen.- b) Primzahlen in arithmetischen Folgen.- c) Der Primzahlsatz.- d) Zwei ungelste Probleme, die Primzahlen betreffen.- 2. Kongruenzen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Der kleine Fermatsche Satz.- 3. Quadratische Reste.- 3. Pythagoreische Zahlen und groer Fermatscher Satz.- 4. Der euklidische Algorithmus.- 1. Die allgemeine Theorie.- 2. Anwendung auf den Fundamentalsatz der Arithmetik.- 3. Eulers?-Funktion. Nochmals kleiner Fermatscher Satz.- 4. Kettenbrche. Diophantische Gleichungen.- Zweites Kapitel Das Zahlensystem der Mathematik.- 1. Die rationalen Zahlen.- 1. Messen und Zhlen.- 2. Die innere Notwendigkeit der rationalen Zahlen. Prinzip der Verallgemeinerung.- 3. Geometrische Deutung der rationalen Zahlen.- 2. Inkommensurable Strecken, irrationale Zahlen und der Grenzwertbegriff.- 1. Einleitung.- 2. Unendliche Dezimalbrche.- 3. Grenzwerte. Unendliche geometrische Reihen.- 4. Rationale Zahlen und periodische Dezimalbrche.- 5. Allgemeine Definition der Irrationalzahlen durch Intervallschachtelungen.- 6. Andere Methoden zur Definition der irrationalen Zahlen. Dedekindsche Schnitte.- 3. Bemerkungen ber analytische Geometrie.- 1. Das Grundprinzip.- 2. Gleichungen von Geraden und Kurven.- 4. Die mathematische Analyse des Unendlichen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Die Abzhlbarkeit der rationalen Zahlen und die Nichtabzhlbarkeit des Kontinuums.- 3. Cantors “Kardinalzahlen”.- 4. Die indirekte Beweismethode.- 5. Die Paradoxien des Unendlichen.- 6. Die Grundlagen der Mathematik.- 5. Komplexe Zahlen.- 1. Der Ursprung der komplexen Zahlen.- 2. Die geometrische Deutung der komplexen Zahlen.- 3. Die Moivresche Formel und die Einheitswurzeln.- 4. Der Fundamentalsatz der Algebra.- 6. Algebraische und transzendente Zahlen.- 1. Definition und Existenz.- Der Liouvillesche Satz und die Konstruktion transzendenter Zahlen.- Ergnzung zu Kapitel II. Mengenalgebra (Boolesche Algebra).- 1. Allgemeine Theorie.- 2. Anwendung auf die mathematische Logik.- 3. Eine Anwendung auf die Wahrscheinlichkeitsrechnung.- Drittes Kapitel Geometrische Konstruktionen. Die Algebra der Zahlkrper.- Zahlkrper.- I. Teil. Unmglichkeitsbeweise und Algebra.- 1. Grundlegende geometrische Konstruktionen.- 1. Rationale Operationen und Quadratwurzeln.- 2. Regelmige Vielecke.- 3. Das Problem des Apollonius.- 2. Konstruierbare Zahlen und Zahlkrper.- 1. Allgemeine Theorie.- 2. Alle konstruierbaren Zahlen sind algebraisch.- 3. Die Unlsbarkeit der drei griechischen Probleme.- 1. Verdoppelung des Wrfels.- 2. Ein Satz ber kubische Gleichungen.- 3. Winkeldreiteilung.- 4. Das regelmige Siebeneck.- 5. Bemerkungen zum Problem der Quadratur des Kreises.- II. Teil. Verschiedene Konstruktionsmethoden.- 4. Geometrische Abbildungen. Die Inversion.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Eigenschaften der Inversion.- 3. Geometrische Konstruktion in verser Punkte.- 4. Halbierung einer Strecke und Bestimmung des Kreismittelpunktes mit dem Zirkel allein.- 5. Konstruktionen mit anderen Hilfsmitteln. Mascheroni-Konstruktionen mit dem Zirkel allein.- 1. Eine klassische Konstruktion zur Verdoppelung des Wrfels.- Beschrnkung auf die Benutzung des Zirkels allein.- 3. Das Zeichnen mit mechanischen Gerten. Mechanische Kurven. Zykloiden.- 4. Gelenkmechanismen. Peaucelliers und Harts Inversoren.- 6. Weiteres ber die Inversion und ihre Anwendungen.- 1. Invarianz der Winkel. Kreisscharen.- 2. Anwendung auf das Problem des Apollonius.- 3. Mehrfache Reflexionen.- Viertes Kapitel Projektive Geometrie. Axiomatik. Nichteuklidische Geometrien.- 1. Einleitung.- 1. Klassifizierung geometrischer Eigenschaften. Invarianz bei Transformationen.- 2. Projektive Transformationen S..- 2. Grundlegende Begriffe.- 1. Die Gruppe der projektiven Transformationen.- 2. Der Satz von Desargues.- 3. Das Doppel Verhltnis.- 1. Definition und Beweis der Invarianz.- 2. Anwendung auf das vollstndige Vierseit.- 4. Parallelitt und Unendlichkeit.- 1. Unendlich ferne Punkte als “uneigentliche Punkte”.- 2. Uneigentliche Elemente und Projektion.- 3. Doppelverhltnisse mit unendlich fernen Elementen.- 5. Anwendungen.- 1. Vorbereitende Bemerkungen.- 2. Beweis des Desarguesschen Satzes in der Ebene.- 3. Der Pascalsche Satz.- 4. Der Satz von Brianchon.- 5. Das Dualittsprinzip.- 6. Analytische Darstellung.- 1. Einleitende Bemerkungen.- 2. Homogene Koordinaten. Die algebraische Grundlage der Dualitt.- 7. Aufgaben ber Konstruktionen mit dem Lineal allein.- 8. Kegelschnitte und Flchen zweiter Ordnung.- 1. Elementare metrische Geometrie der Kegelschnitte.- 2. Projektive Eigenschaften der Kegelschnitte.- 3. Kegelschnitte als Hllkurven.- 4. Pascals und Brianchons allgemeine Stze fr Kegelschnitte.- 5. Das Hyperboloid.- 9. Axiomatik und nichteuklidische Geometrie.- 1. Die axiomatische Methode.- 2. Hyperbolische nichteuklidische Geometrie.- 3. Geometrie und Wirklichkeit.- 4. Poincars Modell.- 5. Elliptische oder Riemannsche Geometrie.- Anhang. Geometrie in mehr als drei Dimensionen.- 1. Einleitung.- 2. Die analytische Definition.- 3. Die geometrische oder kombinatorische Definition.- Fnftes Kapitel Topologie.- 1. Die Eulersche Polyederformel.- 2. Topologische Eigenschaften von Figuren.- 1. Topologische Eigenschaften.- 2. Zusammenhang.- 3. Andere Beispiele topologischer Stze.- 1. Der Jordansche Kurvensatz.- 2. Das Vierfarbenproblem.- 3. Der Begriff der Dimension.- 4. Ein Fixpunktsatz.- 5. Knoten.- 4. Topologische Klassifikation der Flchen.- 1. Das Geschlecht einer Flche.- 2. Die Eulersche Charakteristik einer Flche.- 3. Einseitige Flchen.- 1. Der Fnffarbensatz.- 2. Der Jordansche Kurvensatz fr Polygone.- 3. Der Fundamentalsatz der Algebra.- Sechstes Kapitel Funktionen und Grenzwerte.- 1. Variable und Funktion.- 1. Definitionen und Beispiele.- 2. Das Bogenma eines Winkels.- 3. Graphische Darstellung einer Funktion. Inverse Funktionen.- 4. Zusammengesetzte Funktionen.- 5. Stetigkeit.- 6. Funktionen von mehreren Vernderlichen.- 7. Funktionen und Transformationen.- 2. Grenzwerte.- 1. Der Grenzwert einer Folge an.- 2. Monotone Folgen.- 3. Die Eulersche Zahl e.- 4. Die Zahl ?.- 5. Kettenbrche.- 3. Grenzwerte bei stetiger Annherung.- 1. Einleitung. Allgemeine Definition.- 2. Bemerkungen zum Begriff des Grenzwertes.- 3. Der Grenzwert von $$frac{{sin x}}{x}$$.- 4. Grenzwerte fr x ? ?.- 4. Genaue Definition der Stetigkeit.- 5. Zwei grundlegende Stze ber stetige Funktionen.- 1. Der Satz von Bolzano.- 2. Beweis des Bolzanoschen Satzes.- 3. Der Satz von Weierstrass ber Extremwerte.- 4. Ein Satz ber Zahlenfolgen. Kompakte Mengen.- 6. Einige Anwendungen des Satzes von Bolzano.- 1. Geometrische Anwendungen.- 2. Anwendung auf ein mechanisches Problem.- Ergnzung zu Kapitel VI. Weitere Beispiele fr Grenzwerte und Stetigkeit.- 1. Beispiele von Grenzwerten.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Der Grenzwert von qn.- 3. Der Grenzwert von $$sqrt[n]{p}$$.- 4. Unstetige Funktionen als Limites stetiger Funktionen.- 5. Grenzwerte durch Iteration.- 2. Ein Beispiel fr Stetigkeit.- Siebentes Kapitel Maxima und Minima.- 1. Probleme aus der elementaren Geometrie.- 1. Die maximale Flche eines Dreiecks mit zwei gegebenen Seiten.- 2. Der Satz des Heron. Extremaleigenschaften von Lichtstrahlen.- 3. Anwendungen auf Probleme fr Dreiecke.- 4. Tangentialeigenschaften der Ellipse und Hyperbel. Entsprechende Extremaleigenschaften.- 5. Extreme Abstnde von einer gegebenen Kurve.- 2. Ein allgemeines Prinzip bei Extremalproblemen.- 1. Das Prinzip.- 2. Beispiele.- 3. Stationre Punkte und Differentialrechnung.- 1. Extremwerte und stationre Punkte.- 2. Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variabein. Sattelpunkte.- 3. Minimaxpunkte und Topologie.- 4. Der Abstand eines Punktes von einer Flche.- 4. Das Schwarzsche Dreiecksproblem.- 1. Der Schwarzsche Spiegelungsbeweis.- 2. Ein zweiter Beweis.- 3. Stumpfwinklige Dreiecke.- 4. Dreiecke aus Lichtstrahlen.- 5. Bemerkungen ber Reflexionsprobleme und ergodische Bewegung.- 5. Das Steinersche Problem.- 1. Das Problem und seine Lsung.- 2. Diskussion der beiden Alternativen.- 3. Ein komplementres Problem.- 4. Bemerkungen und bungen.- 5. Verallgemeinerung auf das Straennetz-Problem.- 6. Extrema und Ungleichungen.- 1. Das arithmetische und geometrische Mittel zweier positiver Gren.- 2. Verallgemeinerung auf n Variablen.- 3. Die Methode der kleinsten Quadrate.- 7. Die Existenz eines Extremums. Das Dirichletsche Prinzip.- 1. Allgemeine Bemerkungen.- 2. Beispiele.- 3. Elementare Extremalprobleme.- 4. Schwierigkeiten bei komplizierteren Problemen.- 8. Das isoperimetrische Problem.- 9. Extremalprobleme mit Randbedingungen. Zusammenhang zwischen dem Steinerschen Problem und dem isoperimetrischen Problem.- 10. Die Variationsrechnung.- 1. Einleitung.- 2. Die Variationsrechnung. Das Fermatsche Prinzip in der Optik.- 3. Bernoullis Behandlung des Problems der Brachystochrone.- 4. Geodtische Linien auf einer Kugel. Geodtische Linien und Maxi-Minima.- 11. Experimentelle Lsungen von Minimumproblemen. Seifenhautexperimente.- 1. Einfhrung.- 2. Seifenhautexperimente.- 3. Neue Experimente zum Plateauschen Problem.- 4. Experimentelle Lsungen anderer mathematischer Probleme.- Achtes Kapitel Die Infinitesimalrechnung.- 1. Das Integral.- 1. Der Flcheninhalt als Grenzwert.- 2. Das Integral.- 3. Allgemeine Bemerkungen zum Integralbegriff. Endgltige Definition.- 4. Beispiele. Integration von xn.- 5. Regeln der Integralrechnung.- 2. Die Ableitung.- 1. Die Ableitung als Steigung.- 2. Die Ableitung als Grenzwert.- 3. Beispiele.- 4. Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen.- 5. Differentiation und Stetigkeit.- 6. Ableitung und Geschwindigkeit. Zweite Ableitung und Beschleunigung.- 7. Die geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung.- 8. Maxima und Minima.- 3. Die Technik des Differenzierens.- 4. Die Leibnizsche Schreibweise und das “Unendlich Kleine”.- 5. Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- 1. Der Fundamentalsatz.- 2. Erste Anwendungen. Integration von xr, cos x, sin x, arc tan x.- 3. Die Leibnizsche Formel fr ?.- 6. Die Exponentialfunktion und der Logarithmus.- 1. Definition und Eigenschaften des Logarithmus. Die Eulersche Zahl e.- 2. Die Exponentialfunktion.- 3. Differentiationsformeln fr ex, ax, x8.- 4. Explizite Ausdrcke fr e, ex und Inx als Limites.- 5. Unendliche Reihen fr den Logarithmus. Numerische Berechnung.- 7. Differentialgleichungen.- 1. Definition.- 2. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion. Radioaktiver Zerfall. Wachstumsgesetz. Zinseszins.- 3. Weitere Beispiele. Einfachste Schwingungen.- 4. Newtons Grundgesetz der Dynamik.- Ergnzung zu Kapitel VIII.- 1. Grundstzliche Fragen.- 1. Differenzierbarkeit.- 2. Das Integral.- 3. Andere Anwendungen des Integralbegriffes. Arbeit. Lnge.- 2. Grenordnungen.- 1. Die Exponentialfunktion und die Potenzen von x.- 2. Die Grenordnung von In (n!).- 3. Unendliche Reihen und Produkte.- 1. Unendliche Reihen von Funktionen.- 2. Die Eulersche Formel cos x + i sin x= eix.- 3. Die harmonische Reihe und die Zeta-Funktion. Das Eulersche Produkt fr den Sinus.- 4. Ableitung des Primzahlsatzes mit statistischen Methoden.- Ergnzungen, Probleme und bungsaufgaben.- Arithmetik und Algebra.- Analytische Geometrie.- Geometrische Konstruktionen.- Projektive und nichteuklidische Geometrie.- Topologie.- Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit.- Maxima und Minima.- Infinitesimalrechnung.- Integrationstechnik.- Hinweise auf weiterfhrende Literatur.- Namen- und Sachverzeichnis.
