Description
Dieses Manuskript ist die Ausarbeitung einer im Sommersemester 1964 gehaltenen Vorlesung~ deren Ziel es war, die Horer mit den Problemen der Approximationstheorie vertraut zu machen, die die Grundlage des numerischen Arbeitens bilden. Da keine speziellen Vorkenntnisse vorausgesetzt wurden~ mu~ten auch die klassischen Fragen behandelt oder ~enigstens gestreift werden. Den Hauptgegenstand bildete die Theorie der Tschebyscheff-Approximation stetiger Funktionen. Im Gegensatz zu der EinfUhrung von J. Rice (siehe Literatur-Ver zeichnis [1964J ) wurden Polynom-Approximation und rationale Approximation gemeinsam behandelt, da man vielraeh die gleiehen qUalitativen Resultate erhalt, wenn man’normal~ Funktionen verwendet. Leider trifft diese Feststellung fUr die Konvergenz des Remes-Algo rithmus im Gro5en nicht zu. Obgleieh seit Niedersehrit der Vorle sung weitere Ergebnisse erzielt worden sind, steht eine vollige Klarung der Verhaltnisse noeh aus. Siehere Algorithmen zur Bereehnung der rationalen Tsehebyseheff-Approximierenden sind sebr schwerfallig, andere, die elegant sind, konvergieren nur, wenn die Ansatzfunktion bereits gut genug war. Der als Anhang beigefligte Algorithmus stellt einen, hoffentlieh guten, KompromiS dar. Folgerungen aus Eigensehaften der zu approximierenden Funktion, die fiber die Stetigkeit hinausgehen, konnten aus Zeitmangel kaum berueksichtigt werden. Es kann in dieser Hinsieht auf das Bueh von G. Meinardus [1964J verwiesen werden. Ieh danke Herrn Dipl.-Math. G. Lamprecht fur die Anfertigung der Vorlesungsnachschrift, den Herren Dipl.-Hath. H. Biermann und Dipl.-l-1ath. W. Dost sowie Frau Stud.Assessorin I. Werner fiir die Hilfe bei der Korrektur. Einfhrung und Beispiele.- Definition des linearen, normierten Raumes, Beispiele.- Das Approximationsproblem.- Approximation mit rationalen Funktionen.- Strikt konvexe Normen und Eindeutigkeit des linearen Approximationsproblems.- Charakterisierung der Approximierenden in der L?-Norm bei linearem Ansatz.- Tschebyscheff-Systeme.- Eindeutigkeit bei L1-Approximation.- Differenzenquotient.- Charakterisierung der Tschebyscheff-Approximation.- Beispiele.- Normalitt.- Stetige Abhngigkeit der Tschebyscheff-Approximation von der Funktion.- Quantitative Fassung der Stetigkeit der Tschebyscheff-Approximation T[f].- Diskretisierung und Konvergenz.- Das Problem von Haar.- Die Tschebyscheff-Approximation bei mehreren Vernderlichen.- Tschebyscheff-Approximation und lineare (konvexe) Programmierung.- Asymptotische Untersuchungen.- Das asymptotische Verhalten der Approximationen analytischer Funktionen.- Der Remes-Algorithmus fr Polynome.- Zum Remes-Algorithmus fr rationale Funktionen.- Zur Konvergenz des rationalen Remes-Algorithmus.
