Description
Dieses Buch ist fr die Lehrer an hheren Schulen geschrieben, fr die, die sich auf diesen Beruf vorbereiten und fr alle diejenigen, die die Geometrie lieben. Es wird auch mit Erfolg von 15- bis 18-jhrigen Schlern unter Anleitung ihrer Lehrer verwendet werden knnen. Euklid grndete seine ebene Geometrie auf die Kongruenz von Dreiecken. Drei undzwanzig Jahrhunderte spter definieren die Mathematiker die Ebene als einen affinen mit einem skalaren Produkt versehenen zweidimensionalen Raum. Ich habe gedacht, da unsere Schler eine Darstellung der Geometrie brauchen, die wie bei Euklid von der sinnlich wahrnehmbaren Welt ausgeht, es ihnen aber er laubt, recht bald die passenden und fruchtbaren Hilfsmittel der Algebra zu be nutzen. Dieses Buch bietet also eine Axiomatik der Geometrie, die sich auf die Begriffe der Parallelen, der Senkrechten und der Entfernung grndet, aber in einer Form, die in natrlicher Weise und schnell zur algebraischen Struktur der Ebene und des Raumes fhrt. Mehrere Kapitel sind sodann der Klrung von Fragen gewidmet, die oft als dornen reich angesehen werden; sie betreffen die Bewegungen, die Winkel und das Win kelma, die Orientierung. Dieses Buch verdankt viel den Diskussionen mit zahlreichen franzsischen und auslndischen Mathematikern und Lehrern. Ich danke insbesondere Herrn Andre Revuz, dessen kritische Bemerkungen und dessen Anregungen mir sehr ntzlich gewesen sind. Gustave Choquet Vorwort zur deutschen bersetzung In dem vorliegenden Werk hat der Verfasser, Professor an der Faculte des Sciences in Paris, seine jahrelangen Bemhungen um einen passenden einfachen axiomatischen Aufbau der Schulgeometrie zusammengetragen. I. Inzidenz- und Ordnungsaxiome.- A. Geraden und Parallelen.- 1. Das Mengenschema.- 2. Inzidenzaxiome.- 3. Parallelprojektion.- 4. Achsensysteme.- B. Ordnungsaxiome.- 5. Ordnungsstruktur jeder Geraden.- 6. bertragungsaxiome.- 7. Teilung der Ebene durch eine Gerade.- bungen zum Kapitel I.- II. Axiome der affinen Struktur.- A. Affine Struktur der Geraden von ?.- 8. Das erste Axiom der affinen Struktur.- 9. Isomorphismus zwischen R und den zentrierten Geraden von ?.- B. Struktur der additiven Gruppe von (?, 0).- 10. Das bertragungsaxiom.- 11. Parallelprojektionen und Parallelogramme.- 12. Die Addition auf der Ebene (?, 0) und ihre Gruppenstruktur.- C. Translationen der Ebene ?.- 13. Kennzeichnung der Translationen.- 14. Isomorphismus der Gruppen (?, 0).- 15. Freie Vektoren und die Chasles-Relation.- 16. Auswirkungen der Translationen auf die orientierten Geraden.- D. Vektorraum-Struktur von (?, 0).- 17. Zusammenfassung und Definition des Vielfachen eines Vektors.- 18. Linearitt der Parallelprojektion.- 19. Satz zur Vektorstruktur.- 20. Basis und Koordinaten. Gleichung einer Geraden.- 21. Die zentrischen Streckungen.- 22. Isomorphie der Vektorrume (?, 0).- 23. Struktur des Vektorraumes auf der Menge der Translationen.- E. Dilatationen der Ebene.- 24. Kennzeichnung der Dilatationen.- 25. Die Gruppe der Dilatationen.- 26. Untergruppen.- 27. Dilatationen von Teilmengen von ?.- F. Ergnzungen.- 28. Einige Themen.- 29. Schrgspiegelungen.- bungen zum Kapitel II.- III. Axiome der metrischen Struktur.- A. Senkrechte.- 30. Axiome des Senkrechtstehens.- 31. Senkrechte Richtungen.- 32. Affine Eigenschaften metrischer Erscheinungen.- 33. Projektion eines von einem Punkt ausgehenden Paares von Halbgeraden.- B. Das Skalarprodukt.- 34. Axiom der Symmetrie.- 35. Norm und Skalarprodukt.- 36. Identitten und Ungleichungen.- 37. Invarianz von Distanz und Skalarprodukt bei der Translation.- 38. Skalarprodukt auf dem Vektorraum der Translationen.- C. Elementare metrische Eigenschaften.- 39. Metrische Eigenschaften bei Parallelogrammen und Dreiecken.- 40. Orthogonalprojektion.- 41. Mittelsenkrechte.- 42. Trgheitsmomente.- 43. Skalarprodukt und Distanz bei beliebiger Basis.- IV. Isometrien. hnlichkeitsbildungen. Spiegelungen einer Menge.- A. Isometrien.- 44. Achsenspiegelungen und Punktspiegelungen.- 45. Isometrien.- 46. Die Gruppe der Isometrien um einen Punkt.- 47. Paarige und unpaarige Isometrien.- 48. Struktur einer Isometrie.- B. hnlichkeitsabbildungen.- 49. Haupteigenschaften.- 50. Paarige und unpaarige hnlichkeitsabbildungen.- 51. Die Gruppe der hnlichkeitsabbildungen um einen Punkt.- 52. Struktur einer hnlichkeitsabbildung.- 53. Klassifikation der abgeschlossenen Gruppen der hnlichkeitsabbildungen.- C. Stabile Mengen in bezug auf eine Gruppe von Transformationen.- 54. Regelmigkeit einer Menge.- 55. Konstruktion regelmiger Paare (E, E).- 56. Symmetrie-Elemente einer gegebenen Menge.- bungen zum Kapitel IV.- V. Die Winkel.- A. Die Gruppe der Winkel.- 57. Die Schwierigkeiten des Winkelbegriffs.- 58. Definition und Bezeichnungen.- 59. Winkelsumme eines ebenen geschlossenen Polygons.- B. Winkel und hnlichkeitsabbildungen.- 60. Symmetrie eines Winkels.- 61. Transformation eines Winkels durch eine hnlichkeitsabbildung.- 62. Charakterisierung der Drehungen.- 63. Charakterisierung der hnlichkeitsabbildungen.- 64. Halbieren eines Winkels.- 65. Winkel zweier Geraden.- VI. Orientierung.- 66. Schwierigkeiten des Begriffs.- 67. Orientierung von Teilmengen von ?.- 68. Andere geometrische Gebilde.- 69. Paare von Halbgeraden.- 70. Orientierung und stetige Deformation.- 71. Die Bewegungen.- bungen zum Kapitel VI.- VII. Trigonometrie.- A. Elementare Trigonometrie.- 72. Kosinus und Sinus eines Winkels in bezug auf eine Basis.- 73. Matrix einer Drehung in bezug auf eine positive orthonormale Basis.- 74. Additionstheoreme.- B. Winkelma.- 75. Auf der Suche nach einer Definition.- 76. Definition und unmittelbare Folgerungen.- 77. Skizze eines Existenzbeweises fr stetige Abbildungen von R auf T.- 78. Zahlenwert eines Winkels.- bungen zum Kapitel VII.- VIII. Der Kreis.- 79. Definition und Symmetrien.- 80. hnliche Abbildung.- 81. Konvexitt der Kreisscheibe.- 82. Schnitt Kreis-Gerade.- 83. Tangente an einen Kreis.- 84. Schnitt zweier Kreise.- 85. Kreisgleichung.- 86. Einige kennzeichnende Eigenschaften.- 87. Potenz eines Punktes in bezug auf einen Kreis.- bungen zum Kapitel VIII.- IX. Der Raum.- A. Die Axiome.- 88. Wahl einer Methode.- 89. Axiome des dreidimensionalen Raumes.- 90. Erste Folgerungen.- B. Affinstruktur des Raumes.- 91. Der zentrierte Raum (R, 0).- 92. Translationen.- 93. Parallelismus.- 94. Folgerungen aus dem Dimensionsaxiom.- C. Metrische Struktur des Raumes.- 95. Translationen und Senkrechtstehen.- 96. Das skalare Produkt.- 97. Anwendung auf zwei klassische Theoreme.- 98. Einige Themen.- bungen zum Kapitel IX.- X. Anhang.- A. Axiomatik auf metrischer Basis.- 99. Erste Axiome.- 100. Spiegelungsaxiom.- 101. Spiegelung an einer Geraden.- 102. Senkrechte und Projektionen.- 103. Punktspiegelung und Produkte von Spiegelungen.- 104. Schema der Weiterentwicklung.- B. Axiomatik der nichteuklidischen Geometrie.- C. Axiomatik der “Anfangsgeometrie”.- D. Schema einer anderen Winkeldefinition.- E. Literatur.
