Description
Gute Kenntnisse in Ma- und Integrationstheorie sind unerllich fr fast alle Bereiche der hheren Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Physik. In dem vorliegenden Lehrbuch wird diese Theorie von den allerersten Anfngen – Was soll eine Inhaltsmessung eigentlich leisten? – systematisch bis zur Theorie der Radonmae entwickelt. Besonderer Wert ist auf ausfhrliche Motivationen der neu eingefhrten Begriffe gelegt. Dem Zugang von L. Schwartz folgend werden Radonmae auf beliebigen topologischen Rumen behandelt, wodurch der Rieszsche Darstellungssatz sehr allgemein und bersichtlich bewiesen werden kann. Den Bedrfnissen der Wahrscheinlichkeitstheorie wird durch die Behandlung von Maen auf unendlichen Produkten (Produktmae, Satz von Kolmogoroff) angemessen Rechnung getragen. I. Grundlagen der Ma- und Integrationstheorie.- I.1 Matheorie: Das Programm ?-Algebra, Meraum, erzeugte ?-Algebra, Ma, Maraum, Stetigkeit von Maen; Aufgaben.- I.2 Matheorie: Die Verwirklichung des Programms Ring, Figuren, Prma, Ma-Fortsetzungssatz, Dynkin-System, Lebesgue-Borelma, vollstndige Mae, Lebesguema; Aufgaben.- I.3 Integrationstheorie: Das Programm Programm einer “gewichteten Inhaltsmessung”.- I.4 Integrationstheorie: Die Verwirklichung des Programms MeBbare Funktionen, Permanenzeigenschaften, Elementar- Funktionen, Integral, Satz von der monotonen Konvergenz (B. Levi), integrierbare Funktionen; Aufgaben.- II. Die fundamentalen Stze der Matheorie.- II.1 Einige vorbereitende Begriffsbildungen Nullmengen, fast berall, Makonvergenz; Aufgaben.- II.2 Konvergenzstze Fatous Lemma, Satz von der dominierten Konvergenz (Lebesgue), Egoroffs Theorem; Aufgaben.- II.3 Mae mit Dichten, der Satz von Radon-Nikodym Dichten, Absolutstetigkeit, Theorem von Radon-Nikodym, paar- weise singulr, Lebesguescher Zerlegungssatz; Aufgaben.- II.4 Mae auf Produkten, der Satz von Fubini Produkt-?-Algebra, 1 ? 2, Cavalieri-Prinzip, Satz von Fubini, MaBe auf unendlichen Produkten, vertragliche Familie von MaBen, kompakte Klasse, Satz von Kolmogoroff; Aufgaben.- II.5 Signierte Mae und Zerlegungsstze Signierte Mae, Hahn-Zerlegung, Jordan-Zerlegung, Variation; Aufgaben.- II.6 Bildmae Bildma, Integrationstheorem fr Bildmae; Aufgaben.- II.7 Zusammenfassung.- III. Mae auf dem IRP, Riemann contra Lebesgue 136.- III.1 berblick Ergebnisse zu Borel-Lebesguema und Lebesguema.- III.2 Lebesgue-Stieltjes-Mae Lebesgue-Stieltjes-Ma, MaBerzeugende Funktion; Aufgaben.- III.3 Riemann contra Lebesgue Vergleich Riemann- und Lebesgueintegrale, Charakterisierungssatz fr Riemann-Integrabilitt; Aufgaben.- IV. Rume mebarer Funktionen.- IV.1 Die. Rume Lp(S,A,,) fr 1 ? p ? ? Zur p-ten Potenz integrable und im wesentlichen beschrnkte Funktionen, die Rume Lp (S,A,), Hldersche und Minkowskische Ungleichung, die Lp(S,A,), Vollstndigkeit der Lp(S,A,) (Riesz), Separabilitt; Aufgaben.- IV. 2 Die Dualrume der Rume Lp(S, A,) Dualraum eines Banachraums, Nachweis von (Lp)’= Lq fr 1
