Description
Die vorliegende Arbeit beruht auf einer Ausarbeitung einer einseme strigen Vorlesung tiber “Hkonometrie”, die der erste Autor im SS 1969 an der Universitat Karlsruhe gehalten hat. Es war damals nicht mog lich, den Studenten ein deutschsprachiges Textbuch zu empfehlen, das in etwa den dargebotenen Stoff enthielt. Dagegen existieren in der englischen Literatur hervorragende Lehrbticher, es seien nur die Werke von Goldberger und Johnston erwahnt. In Zusammenarbeit mit GBtz Uebe entstand daher diese Arbeit, die sich in erster Linie an Studenten wendet, um ihnen das Studium der Methoden der Hkonometrie zu erleichtern. Daher lehnt sich diese Darstellung sowohl im Aufbau wie auch im Inhalt sehr stark an die oben bereits zitierten Werke an. Viele Dinge werden bewu3t etwas ausftihrlicher und breiter dargestellt, um eine leicht lesbare Einftibrung in dieses Gebiet zu bringen. Um an dererseits den Umfang des Bandes nicbt zu stark zu vergro3ern, wurde angenommen, da3 der Leser bereits Kenntnis der Statistik und Wahr scheinlichkeitstbeorie besitzt. Sollte dies nicht der Fall sein, so sei auf eines der in der Literaturangabe erwahnten Werke verwiesen. A konometrische Einzelgleichungsmodelle.- I Statistische Hilfsmittel.- 1. Die nichtexperimentelle Natur konometrischer Zeitreihen.- 2. Schtzwerte und Schtzfunktionen.- 3. Stochastische Eigenschaften der beobachteten Gren.- 3.1 Dichte und Verteilung einer Zufallsvariablen.- 3.2 Normalverteilte Zufallsvariablen.- 3.2.1 Die Normalverteilung.- 3.2.2 Aus der Normalverteilung ableitbare Verteilungen.- 3.3 Wnschenswerte Eigenschaften eines Schtzwertes.- 3.3.1 Erwartungstreue.- 3.3.2 Kleinste Varianz.- 3.3.3 Linearitt.- 3.3.4 Konsistenz.- 3.3.5 Wirksamkeit.- 3.3.6 Suffizienz.- 4. Zwei Verfahren zur Bestimmung von Schtzfunktionen.- 4.1 Das verteilungsfreie Verfahren der kleinsten Quadrate.- 4.2 Das verteilungsabhngige Maximum-Likelihood Verfahren von R. A. Fisher.- 5. Die Gte der Schtzwerte.- 5.1 Die Varianz eines geschtzten Parameters.- 5.1.1 Die Varianz von Maximum-Likelihood Schtzwerten.- 5.1.2 Die Varianz fr die Schtzwerte der Koeffizienten einer Normalverteilung.- 5.2 Der Vertrauensbereich.- 5.2.1 Der Ansatz eines Vertrauensbereiches.- 5.2.2 Beispiel eines normalverteilten Vertrauensbereiches.- 6. Testen von Hypothesen.- 6.1 Das grundlegende Problem des Hypothesenprfens.- 6.2 Bewertung falscher Entscheidungen.- II Das klassische lineare Regressionsmodell fr zwei Variable.- A. Der lineare Ansatz.- 1. Das Modell.- 2. Die Interpretation der Strvariablen.- 3. Die Anwendungsbreite des linearen Modells.- 3.1 Umformungen durch Variablentransformationen.- 3.2 Linearisierte Beziehungen.- 4. Das Schtzproblem.- B. Die Methode der kleinsten Quadrate.- 1. Die Schtzwerte ?? und ??.- 2. Die Linearitt der Schtzwerte.- 3. Die Einfhrung des Erwartungswertes der Strvariablen – die Unverzerrtheit der Schtzwerte -.- 3.1 Der Erwartungswert der Strvariablen.- 3.2 Die Linearitt von ?? in den Strvariablen.- 3.3 Die Erwartungstreue von.- 3.4 Die Linearitt von ?? in den Strvariablen.- 3.5 Die Erwartungstreue von ??.- 4. Die Einfhrung der Kovarianzen der Strvariablen.- 4.1 Die Annahmen.- 4.2 Bemerkungen.- 4.3 Beweis zur kleinsten Varianz der Schtzwerte ?? und ?? im homoskedastischen Fall.- 4.3.1 Die Varianzen von ?? und ??.- 4.3.2 Die Kovarianz von ?? und ??.- 4.3.3 Die Gre der Varianzen.- 4.3.3.1 Beweisverfahren I.- 4.3.3.2 Beweisverfahren II.- 4.4 Der Schtzwert ??2 fr die Varianz der Strvariablen.- 5. Das Bestimmtheitsma – der Korrelationskoeffizient.- 5.1 Das Gtekriterium des Korrelationskoeffizienten.- 5.2 Der Zusammenhang mit dem Schtzwert ??.- 5.3 Die Zerlegung in erklrte und unerklrte Teile.- 6. Ein Zwischenergebnis.- 6.1 Die Verteilungsfreiheit der Methode der kleinsten Quadrate.- 6.2 Entwicklungsschema der Annahmen und Ergebnisse fr die Methode der kleinsten Quadrate.- 6.3 bersicht der wichtigsten Beziehungen.- 6.4 Ein Beispiel – eine Konsumfunktion fr die Bundesrepublik Deutschland.- C. Die Maximum-Likelihood Methode.- 1. Die Einfhrung einer Verteilung fr die Strvariablen.- 2. Der Sonderfall der normalverteilten Strvariablen.- 3. Die bereinstimmung mit den SELS-Ergebnissen.- 4. Zustzliche Ergebnisse.- 4.1 Der verzerrte Schtzwert ??2 fr die Varianz der Strvariablen.- 4.2 Normalverteilung der Koeffizienten ?? und ??.- D. Statistische Prfverfahren fr die Schtzwerte.- 1. Ableitung der ?2-Verteilung der Summe der quadratischen Abweichungen.- 1.1 Eine Testgre aus den beobachteten Werten.- 1.2 ?-Verteilung der Summe der quadratischen Abweichungen.- 2. Ein Satz ber lineare und quadratische Formen der Strvariablen.- 2.1 Lineare Formen der Strvariablen.- 2.2 Eine quadratische Form der Strvariablen.- 2.3 Diagonalisierung der Matrix der quadratischen Glieder.- 2.4 Formulierung des Satzes.- 2.5 Beweis des Satzes.- 2.6 bertragung des Satzes auf die Regression.- 2.7 Rckblick.- 3. Student’s t-Test fr die Schtzwerte ?? und ??.- 3.1 Die Verteilung der beteiligten Gren.- 3.2 Die t-verteilten Testgren.- 3.3 Vertrauensbereiche fr die Schtzwerte ?? und ??.- 3.3.1 Der Vertrauensbereich fr eine beliebige stochastische Gre.- 3.3.2 Anwendung auf die t-verteilten Gren ???, ???.- 4. Der varianzanalytische Ansatz – Snedecor’s F-Test.- 4.1 Die Konstruktion F-verteilter Gren.- 4.2 Der Test des einzelnen Koeffizienten ?? oder ??.- 4.3 Ein Test fr das Bestimmtheitsma.- 4.4 Der gemeinsame Test zweier Koeffizienten.- 5. bersicht der wichtigsten Beziehungen.- 6. Erste Fortsetzung des Beispiels.- E. Erweiterung des Modells.- 1. Prognose.- 1.1 Das allgemeine Problem der Prognose.- 1.2 Der Prognosewert besitzt die BLUE-Eigenschaft.- 1.2.2 Linearitt in den ursprnglichen Beobachtungswerten und kleinste Varianz des Prognosewertes.- 1.3 bertragung der verteilungsabhngigen Ergebnisse.- 1.4 Untersuchung einer zustzlichen Beobachtung.- 1.5 bersicht der wichtigsten Beziehungen.- 2. Zweite Fortsetzung des Beispiels.- III Das allgemeine lineare Regressionsmodell.- A. Der lineare Ansatz.- B. Die Methode der kleinsten Quadrate.- 1. Der Schtzwert fr den Koeffizientenvektor ?.- 2. Die Linearitt des Schtzvektors.- 3. Die Einfhrung des Erwartungswertes der Strvariablen – Die Unverzerrtheit des Schtzvektors -.- 4. Die Einfhrung der Kovarianzmatrix der Strvariablen.- 4.1 Die Kovarianzmatrix der Schtzvektoren.- 4.2 Der Standardfall der positiv-definiten Kovarianzmatrix.- 4.3 Das klassische Problem (K).- 4.4 Das Problem der Heteroskedastizitt (H).- 4.5 Das allgemeine Problem der Autokorrelation (A).- 4.5.1 Die Annahmen der Autokorrelation.- 4.6 Ein Sonderfall: Der autoregressive Proze.- 4.6.1 Der autoregressive Ansatz.- 4.6.2 Die Bestimmung der stochastischen Eigenschaften der Strvariablen u.- 4.6.2.1 Der Erwartungswert.- 4.6.2.2 Die Kovarianzmatrix.- 4.6.2.3 Eine Nherungslsung fr die Transformationsmatrix.- 4.6.3 Die Bestimmung des Autokorrelationskoeffizienten ?.- 4.6.3.1 Zwei Extremflle fr den Autokorrelations – koeffizienten.- 4.6.3.2 Ersetzung der Strvariablen durch die Residuen in der Kovarianzmatrix.- 4.6.3.3 Ersetzung der Strvariablen durch die Residuen im autoregressiven Proze.- 4.6.4 Der von Neumann – Durbin – Watson Test.- 4.6.5 Zusammenfassung.- 4.7 bersicht zu den Transformationen.- 4.8 Die Eigenschaft bester Schtzwert fr den klassischen Fall.- 4.9 Die BLUE-Eigenschaften des klassischen Falls und der darauf transformierten Flle.- 4.9.1 Die zentrale Rolle des klassischen Modells.- 4.9.2 Ein Beispiel fr die Wirksamkeit der Transformation.- 4.10 Der Schtzwert ??2 fr die Varianz der Strvariablen im klassischen Fall.- 4.11 Das Bestimmtheitsma.- 4.11.1 Das Bestimmtheitsma fr die gesamte Regression.- 4.11.2 Die partiellen Korrelationskoeffizienten.- 5. bersicht der wichtigsten Beziehungen.- 6. Dritte Fortsetzung des Beispiels.- C. Die Maximum Likelihood Methode.- 1. Die Einfhrung einer Verteilung fr die Strvariablen.- 2. Der Sonderfall der normal-verteilten Strvariablen im klassischen Modell.- 3. Die bereinstimmung mit den SELS-Ergebnissen.- 4. Zustzliche Ergebnisse.- 4.1 Der verzerrte Schtzwert ??2 fr die Varianz der Strvariablen.- 4.2 Normalverteilung des Schtzvektors ?.- D. Statistische Prfverfahren fr den Schtzvektor.- 1. Ableitung der ?2-Verteilung mit (n-k)-Freiheitsgraden fr die Summe der quadratischen Abweichungen.- 2. Einschub: Die idempotente Matrix M.- 3. Die Unabhngigkeit der Verteilung des Schtzvektors ? von der Verteilung der Quadratsumme der Residuen.- 4. Der bergang zu t-verteilten Testgren fr den Schtzvektor.- 4.1 Vertrauensbereiche aus den t-verteilten Testgren.- 4.2 Abschlieende Bemerkungen zum t-Test.- 5. Der varianzanalytische Ansatz – Snedecor’s F-Test.- 5.1 Die Konstruktion F-verteilter Testgren.- 5.2 Der Test eines einzelnen Koeffizienten.- 5.3 Ein Test fr das Bestimmtheitsma.- 5.4 Der gemeinsame Test fr mehrere Koeffizienten.- 5.4.1 Hinzufgen einer zustzlichen unabhngigen Variablen.- 5.4.2 Hinzufgen mehrerer zustzlicher unabhngiger Variabler.- 6. bersicht ber die wichtigsten Beziehungen.- 7. Vierte Fortsetzung des Beispiels.- E. Erweiterung des Modells um zustzliche Beobachtungswerte.- 1. Prognose.- 1.1 Das allgemeine Problem der Prognose.- 1.2 BLUE-Eigenschaften des Prognosewertes Y?O.- 1.2.1 Unverzerrtheit des Prognosewertes.- 1.2.2 Linearitt und kleinste Varianz des Prognosewertes.- 1.3 bertragung der verteilungsabhngigen Ergebnisse.- 1.4 Untersuchung einer zustzlichen Beobachtung.- 1.5 bersicht der wichtigsten Beziehungen.- 2. Fnfte Fortsetzung des Beispiels.- IV Multikollinearitt.- 1. Existenz und Folgen der Multikollinearitt.- 2. Erkennen der Multikollinearitt.- 2.1 Kenntnis der Multikollinearitt.- 2.2 Fehlende Kenntnis der Multikollinearitt.- 2.2.1 bergroe Kovarianzwerte.- 2.2.2 Vergleich der partiellen Bestimmtheitsmae.- 2.3 Genauere Tests auf Multikollinearitt.- 2.3.1 Frisch’s Bschelkartenanalyse.- 2.3.2 Tintner’s Eigenwertmethode.- 3. Sechste Fortsetzung des Beispiels.- V Verzgerte Variable.- 1. Der allgemeine Fall verzgerter Variablen.- 2. Ein einfacher Fall der Verzgerung.- 2.1 Der Ansatz.- 2.2 Ein nicht-stochastischer Anfangswert Y1.- 2.2.3 Ein stochastischer Anfangswert Y1.- 2.3.1 Mittelwert und Varianz der Beobachtung.- 2.3.2 Die Likelihood Funktion.- 2.3.3 Die Schtzgleichungen.- 2.3.4 Konsistenz der Schtzwerte.- 2.3.5 Eine typische Situation in konometrischen Problemen.- 3. Das Modell von Koyck – Geometrisch abnehmender Einflu der Vergangenheit -.- 3.1 Der Ansatz.- 3.2 Aufbau der Schtzsysteme.- 3.3 Vergleich der Schtzsysteme.- 3.4 Nichtkonsistenz des Schtzsystems.- 3.5 Die Koyck-sche Korrektur des Schtzsystems.- 3.6 Zusammenfassung.- VI Beobachtungsfehler in den Variablen.- 1. Die Einfhrung von Beobachtungsfehlern in den Ansatz.- 2. Inkonsistente SELS-Schtzungen.- 2.1 Vergleich der Schtzsysteme.- 2.2 Der Schtzwert fr .- 3. Maximum-Likelihood Schtzwerte.- 3.1 Der Ansatz bei Normalverteilung.- 3.2 Die Auswertung der Schtzgleichungen.- 3.3 Sonderflle der Lsung.- 3.3.1 Der Varianzparameter ? verschwindet.- 3.3.2 Der Varianzparameter ? wird unendlich gro.- 3.3.3 Die “wahre” Beziehung ist nicht-stochastisch.- 3.3.4 Die Varianzen der Beobachtungsfehler sind numerisch bekannt.- 4. Schtzwerte nach der Momentenmethode von Pearson.- 4.1 Der Ansatz.- 4.2 Eine Beispielslsung.- 5. Gruppierungsverfahren.- 5.1 Das Verfahren von Wald.- 5.2 Das Verfahren von Bartlett.- B konometrische Gleichungssysteme.- VII Das lineare konometrische Gleichungssystem.- 1. Wirklichkeitsnhe konometrischer Systeme.- 2. Der allgemeine Ansatz eines linearen konometrischen Gleichungssystems.- 3. Der Unterfall des Einzelgleichungsmodells.- VIII Das Identifikationsproblem.- 1. Die Schtzmglichkeiten fr eine Struktur.- 2. Eine nicht-identifizierbare Struktur.- 3. Einfhren von zustzlichen Variablen zur Identifikation.- 4. Einfhren von zustzlichen stochastischen Eigenschaften.- 4.1 Unabhngigkeit der Strvariablen.- 4.2 Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsdichte fr die endogenen Variablen einer ersten Struktur.- 4.2.1.1 Die Bildung der reduzierten Form einer Struktur.- 4.2.1.2 Die Wahrscheinlichkeitsdichte der endogenen Variablen.- 4.2.2 Ableitung der Wahrscheinlichkeitsdichte fr die endogenen Variablen einer zweiten Struktur.- 4.2.3 Identifikation der gemeinsamen reduzierten Form.- 5. Folgerung aus den Beispielen.- 6. Der stochastische Zusammenhang zwischen Struktur und reduzierter Form.- 6.1 Struktur und reduzierte Form.- 6.2 Mittelwert und Kovarianzmatrix fr die Strvariablen der reduzierten Form.- 6.3 Mittelwert und Kovarianzmatrix fr die endogenen Variablen.- 6.4 Die Wahrscheinlichkeitsdichte der endogenen Variablen.- 6.5 Likelihoodfunktion quivalenter Strukturen.- 7. Das Identifikationsproblem bei Ausschlu von Koeffizienten.- 7.1 Umordnen des Systems fr eine Gleichung.- 7.2 Bestimmung der Koeffizienten der Struktur.- 7.3 Die Identifikationskriterien fr vollstndige Strukturen.- 7.4 Vergleich der beiden Identifikationskriterien.- IX Schtzverfahren fr Gleichungssysteme.- 1. Einteilung der Schtzverfahren.- 2. bertragung des Einzelgleichungsmodells.- 2.1 Der Sonderfall eines rekursiven Modells.- 2.2 Die stochastischen Eigenschaften des rekursiven Modells.- 2.3 Die sukzessive Schtzung des rekursiven Modells.- 2.4 Die Hufigkeit des Einzelgleichungsansatzes.- 3. Die Methode der indirekten kleinsten Quadrate.- 3.1 Der Schtzwert aus den Identifikationsgleichungen.- 3.2 Die Schtzung der reduzierten Form.- 3.3 Die Beschrnkung auf exakt identifizierte Strukturen.- 3.4 Konsistenz der Schtzung.- 4. Schtzverfahren bei beridentifikation.- 4.1 Verfahren bei beschrnkter Information.- 4.1.1 Das zweistufige Verfahren der kleinsten Quadrate.- 4.1.1.1 Zerlegung des Schtzproblems.- 4.1.1.2 Umformung der Strukturgleichung zum Schtzsystem.- 4.1.1.3 Stufe 1: Schtzung der Teilmatrix C1R der reduzierten Form.- 4.1.1.4 Stufe 2: Schtzung der Strukturkoeffizienten A1R und B1,*.- 4.1.1.5 Der Sonderfall der bereinstimmung von TLS und ILS.- 4.1.1.6 Die Notwendigkeit der Identifikation.- 4.1.1.7 Konsistenz der TLS-Schtzwerte.- 4.1.2 Rckfhrung auf ein exakt identifiziertes Schtzsystem – Das eigentliche Verfahren bei beschrnkter Information -.- 4.1.2.1 Der Ansatz der Schtzung.- 4.1.2.2 Das Schtzproblem.- 4.1.2.3 Die Begrndung ber die Zerlegung des Bestimmtheitsmaes.- 4.1.2.4 Die Begrndung ber einen Maximum-Likelihood Ansatz bei unabhngigen, normal-verteilten Strvariablen.- 4.1.3 Das Schtzsystem.- 4.1.3.1 Der Lagrange Ansatz.- 4.1.3.2 Die Schtzwerte fr C*,*, C*,** und ?.- 4.1.3.3 Die Zerlegung der Residuen.- a) Ableitung der Summanden.- b) Die Regression auf die erste Teilmenge der exogenen Variablen.- c) Die Regression auf beide Teilmengen der exogenen Variablen.- c1) Der Schtzansatz.- c2) Inversion einer zweifach unterteilten Matrix.- c3) Die Residuen auf alle exogenen Variablen.- 4.1.3.4 Bercksichtigung der Nebenbedingung.- 4.1.3.5 Zusammenfassung des eigentlichen Verfahrens bei beschrnkter Information.- 4.2 Verfahren bei voller Information.- 4.2.1 Der Unterschied der Verfahren bei voller und beschrnkter Information.- 4.2.2 Die dreistufige Methode der kleinsten Quadrate.- 4.2.2.1 Ableitung einer Schtzgleichung.- 4.2.2.2 Unterschiede in der Identifizierbarkeit.- 4.2.2.3 Anwendbarkeit des SELS-Ansatzes.- 4.2.2.4 bertragung des SELS-Ansatzes auf das System.- 4.2.2.5 Bestimmung eines Schtzwertes fr die Kovarianzmatrix der Strvariablen.- 4.2.2.6 Zusammenfassung.- X. Literaturverzeichnis.
