Description
Die MaBtheorie Car a the 0 do r y’ s geht von einem axiomatiseh er klarten auBerell MaB der n-dimensionalen Punktmengen aus und legt dann innerhalb dieser Mengen die meBbaren fest; das auBere MaB einer meBbaren Menge ist ihr MaB. Dane ben tritt die Theorie, welehe den Inhalts-und MaBbegriff als solehen axiomatiseh einfiihrt und ausbaut, ohne ein von vornherein gegebenes auBeres MaB heranzuziehen. Bei beiden Theorien konnen groBe Teile dahin verallgemeinert werden, daB an Stelle der Mengen Somen aus einem Boole’sehen a-Verband treten. Das vorliegende Bueh geht im erst en Kapitel nach der zweiten Methode vor und behandelt im fiinften jenen Teil der Theorie der auBe ren und inneren MaBe, welcher als auBerhalb des erst en Kapitels liegt; insbesondere wird die SteHung der “gewohnlichen” auBeren MaBe inner halb der urspriinglichen Theorie geklart. Die Verallgemeinerung auf Somenfunktionen erfolgt im sechsten Kapitel, das der Hauptsache nach eine in sieh geschlossene Darstellung der Boole’sehen Verbande be inhaltet. Einzelne Fu6noten im ersten Kapitel iiber die formale Her leitung von Mengenrelationen geben unter einem die Schritte an, welche zur Relation mit Somen an Stelle der Mengen fiihren. Diese drei ab strakten Kapitel, die bis an die heutigen Grenzen heranreichen und, wie ich glaube, sie mehrfach iiberschreiten, konnen unabhangig vom iibrigen Teil des Buches gelesen werden; dabei kann man aueh mit dem seehsten Kapitel beginnen. Der Peano-Jordan’sehe Inhalt sowie das Borel’sche und Lebesgue’sehe MaB werden im zweiten und dritten Kapitel vom elementaren Inhalt der Wiirfelaggregate ei. I. Abstrakte Inhalte und Mae..- 1. Hilfsmittel aus der Mengenlehre.- 1. Summe, Produkt und Differenz von Mengen.- 2. Rechenregeln fr Mengen.- 3. Limesmengen von Mengenfolgen.- 4. ?- und ?- Systeme.- 5. Mengenringe.- 6. Mengenkrper.- 7. ?- und ?-Krper.- 2. Additive Inhalte.- 8. Inhaltsaxiome.- 9. Folgerungen aus den Inhaltsaxiomen.- 10. uerer und innerer Inhalt.- 11. Symmetrie- und Summenformeln.- 12. Relativfunktionen.- 3. Volladditive Inhalte und Mae.- 13. Definition des volladditiven Inhalts.- 14. Grenzwertstze fr volladditive Inhalte.- 15. Summenformeln. Relativfunktionen.- 16. Mafunktionen.- 17. Grenzwertstze fr Mae.- 18. Inhalte mit besonderen Eigenschaften.- 4. Magleiche Hllen und Kerne.- 19. Magleiche Hllen.- 20. Magleiche Kerne.- 21. Regeln fr magleiche Hllen und Kerne.- 22. Grenzwertstze fr uere und innere Mae.- 23. Vollzerlegbare Mengen.- 5. Vollstndige Inhalte und Mae.- 24. Vollstndigkeit eines Inhaltes.- 25. Vollstndigkeit eines Maes.- 26. Kriterien fr die Mebarkeit.- 6. Vervollstndigung eines Inhaltes und eines Maes.- 27. Kleinste Vervollstndigung eines Inhalts.- 28. Kleinste Vervollstndigung eines volladditiven Inhalts.- 29. Kleinste Vervollstndigung eines Maes.- 7. Erweiterung eines volladditiven Inhaltes zu einem Mae.- 30. Die f?-Erweiterung eines volladditiven Inhaltes.- 31. Der ?-Krper N.- 32. Kleinstes vollstndiges Ma ber einem volladditiven Inhalt.- 33. Kleinstes Ma ber einem volladditiven Inhalt.- 34. Darstellung von $$bar l, underset{raise0.3emhbox{$smash{scriptscriptstyle-}$}}{l} $$ und Vergleich mit $$bar i, underset{raise0.3emhbox{$smash{scriptscriptstyle-}$}}{i} $$.- 35. Hllen und Kerne aus f?? bzw. f??.- 8. Kriterien fr die j-Mebarkeit.- 36. Hllen und Kerne aus f? bzw. f?.- 37. j-Mebarkeit.- 9. Inhalt und Ma in Produktrumen.- 38. Additive Produktinhalte.- 39. Volladditive Produktinhalte.- 40. Vollstndige Inhalte und Mae in Produktrumen.- 41. Mehrfache Produktinhalte.- II. Der Jordan’sche Inhalt..- 10. Der elementare Inhalt der Wrfelaggregate.- 42. Basis und ihre Erweiterung zum Krper.- 43. Elementarer Inhalt der Wrfelaggregate.- 11. Der n-dimensionale Jordan’sche Inhalt.- 44. Erklrung des Jordan’ schen Inhaltes.- 45. Intervalle.- 46. Jordan’scher uerer und innerer Inhalt.- 47. Darstellungen von $$bar j$$ und $$underset{raise0.3emhbox{$smash{scriptscriptstyle-}$}}{j} $$.- 48. Unabhngigkeit des Inhalts von der Grundfolge.- 49. Kriterien fr die Quadrierbarkeit.- 50. Einfachste Inhaltstransformationen.- 51. Jordan’scher Inhalt in Produktrumen.- 12. berdeckende Zellensysteme.- 52. Grenzwertstze fr $$bar j$$ und $$underset{raise0.3emhbox{$smash{scriptscriptstyle-}$}}{j} $$.- 53. berdeckende Zellensysteme.- 54. Weitere Erklrungen des Jordan’schen Inhaltes.- 13. Inhalt spezieller Gebilde.- 55. Hyperflchen.- 56. Gerade Zylinder.- 57. Kugeln.- 58. Diskontinuen.- 59. Jordan’sche Kurven.- 60. Rektifizierbare Kurven.- III. Das Borel’sche und das Lebesgue’sche Ma..- 14. Das Borel’sche Ma.- 61. Borel’sche Mengen des En.- 62. Borel’sches Ma.- 15. Das Lebesgue’sche Ma.- 63. Erklrung des Lebesgue’schen Maes.- 64. Lebesgue’sches ueres und inneres Ma.- 65. Darstellungen von $$bar l$$ und $$underset{raise0.3emhbox{$smash{scriptscriptstyle-}$}}{l} $$.- 66. Kriterien fr die Mebarkeit nach Lebesgue.- 67. Zusammenhang von Jordan’schem Inhalt und Lebesgue’schem Ma.- 68. Vollzerlegbarkeit.- 69. Einfachste Matransformationen.- 70. Lebesgue’sches Ma in Produktrumen.- 71. Weitere Erklrungen des Lebesgue’schen Maes.- 72. Gerade Zylinder.- 16. Nicht nach Lebesgue mebare Mengen.- 73. Existenz nicht l-mebarer Mengen.- 74. Nicht l-mebare Teile n-dimensionaler Punktmengen.- 17. Der berdeckungssatz von Vitali.- 75. Vitali-berdeckungen.- 76. Regulre berdeckungen.- 18. Dichte einer Punktmenge.- 77. Erklrung der Dichte.- 78. Der Dichtesatz.- 79. Regulre Vergleichssysteme.- 80. Dichte im starken Sinne.- IV. Transformation von Inhalt und Ma..- 19. Lineare Transformationen.- 81. Zusammensetzung homogener linearer Transformationen aus primitiven.- 82. Orthogonale und kongruente Transformationen.- 20. Transformation von Inhalt und Ma.- 83. Inhalt und Ma bei einer primitiven Transformation.- 84. Inhalt und Ma bei einer linearen Transformation.- 85. Mebare Abbildungen.- 21. Inhalt und Ma elementarer Gebilde.- 86. Zylinder.- 87. Parallelotope.- 88. Kegel.- 89. Simplexe.- 90. Ellipsoide.- V. Theorie der ueren Mae..- 22. uere und innere Mae.- 91. Allgemeine uere Mae.- 92. Gewhnliche uere Mae.- 93. Innere Mae.- 94. uere Mae in metrischen Rumen.- 23. Die Auenfunktion der f?-Erweiterung eines volladditiven Inhaltes als ueres Ma.- 95. Das zu einem volladditiven Inhalt gehrige uere Ma.- 96. Erweiterung eines volladditiven Inhalts zu einem vollstndigen Ma.- VI. Verbnde und Somenfunktionen..- 24. Boole’sche Verbnde.- 97. Teilweise geordnete Mengen.- 98. Boole’sche Verbnde.- 99. Boole’sche ?-Verbnde.- 100. Rechenregeln fr Somen.- 101. Geschlossene Boole’sche Verbnde.- 102. Somenfolgen.- 103. Erweiterung von Boole’schen Verbnden.- 104. Somensysteme.- 105. Boole’sche Algebren.- 25. Isomorphieen und Homomorphieen.- 106. Isomorphe Boole’sche Verbnde.- 107. Homomorphe Boole’sche Verbnde.- 108. Konstruktion der Homomorphieen eines Boole’schen Verbandes.- 26. Somenfunktionen.- 109. Inhalte und Mae als Somenfunktionen.- 110. Inhalts- und Mareduktion.- 111. Reduktion eines ueren Maes.- Anhang. Borel’sche Mengen.- 1. Die Borel’schen Mengen ber einem Mengensystem.- 2. Erweiterung eines Mengensystems zum kleinsten ?-Krper.- 3. Die Borel’schen Mengen Euklid’scher Rume.- 4. Quadrierbare, nicht nach Borel mebare Mengen.- Namenverzeichnis.
