Description
Im Mittelpunkt des Buches steht eine Konstruktion mit Hilfe von Geradenkonfigurationen in der komplex-projektiven Ebene, die berraschende Beziehungen zur elementaren Geometrie aufzeigt: Aus der berhmten Miyaoka-Yau-Ungleichung fr die Chernschen Zahlen einer algebraischen Flche folgen Aussagen ber Geraden- und Punktkonfigurationen, fr die kein direkter Beweis bekannt ist. Der Grenzfall der Ungleichung ist eine Proportionalittsbeziehung, die genau die Flchen charakterisiert, deren universelle berlagerung die Vollkugel im komplex-zweidimensionalen Raum ist. Die Methoden gestatten die Konstruktion von Flchen aus dieser besonders interessanten Klasse, fr die bislang wenig explizite Beispiele bekannt waren. Einfhrung: Das Klassifikationsproblem. Ballquotienten und Proportionalittsstze.- 1 Konstant verzweigte berlagerungen und Chernsche Zahlen.- 1.1 Regulr konstant verzweigte berlagerungen.- 1.2 Singulr konstant verzweigte berlagerungen und Regularisierung.- 1.3 CHERNsche Zahlen und Proportionalittsabweichung.- 1.4 Zwei Ballquotienten als verzweigte berlagerungen ABELscher Flchen.- 1.5 Beispiel: Geradenkonfigurationen und die zugehrigen KUMMERschen berlagerungen der projektiven Ebene.- 2 Geradenkonfigurationen: Kombinatorik und Beispiele.- 2.1 Geradenkonfigurationen in projektiven Ebenen.- 2.2 Reelle und simpliziale Konfigurationen und Platonische Krper.- 2.3 Beispiele komplexer Konfigurationen: Die HESSE- und die CEVA-Konfigurationen.- 2.4 Spiegelungsgruppen und Geradenkonfigurationen.- 3 Geradenkonfigurationen und Kummersche berlagerungen der projektiven Ebene.- 3.1 Drei Beispiele von Ballquotientenflchen.- 3.2 Zur Klassifikation der berlagerungsflchen.- 3.3 Ungleichungen fr CHERNsche Zahlen und Kombinatorik von Geradenkonfigurationen.- 3.4 Zur Geographie der CHERNschen Zahlen.- 4 Gewichtete Konfigurationen von Kurven und verzweigte berlagerungen algebraischer Flchen.- 4.1 Gewichtete Kurvenkonfigurationen, passende berlagerungen, CHERNsche Zahlen und Proportional ittsberechnungen.- 4.2 Rationale Ausnahmekurven und negative Gewichte.- 4.3 Elliptische Kurven und das Gewicht Unendlich.- 5 Gewichtete Geradenkonfigurationen, Proportionalitt und Ballquotienten.- 5.1 Proportionalittsbedingungen.- 5.2 Konstante Geradengewichtung und isobare Konfigurationen.- 5.3 Existenz passender berlagerungen.- 5.4 Das vollstndige Viereck: Proportionalitt und hyperbolische Gewichtungen.- 5.5 Das vollstndige Viereck: Spezielle proportionale berlagerungen.- 5.6 Die CEVA-Konfigurationen.- 5.7 Spiegelungsgruppen-Konfigurationen und Ballquotienten.- Anhang A Algebraische Flchen.- A.1 Invarianten und Klassifikation.- A.2 Logarithmische Formen und Invarianten.- Anhang B Differentialgeometrische Methoden.- B.1 Ballquotienten und CHERNsche Zahlen.- B.2 KHLER-EINSTEIN-Metriken und Ballquotienten.- B.3 Kompaktifizierte Ballquotienten und logarithmische Proportionalitt.- Anhang C Topologische Konstruktionen.- C.1 Verzweigte berlagerungen.- C.2 Passende berlagerungen zu gewichteten Kurvenkonfigurationen.- C.3 Die Fundamentalgruppe des Komplements einer Geradenkonfiguration.- C.4 Existenzuntersuchung mit Hilfe der Fundamentalgruppe.- C.5 ABE Lsche berlagerungen.- C.6 Passende berlagerungen zu den Spiegelungsgruppen-Konfigurationen.- Sachwortverzeichnis.
