Description
Das vorliegende Buch ist aus einer 1-semestrigen Vorlesung iiber DifTerentialgeometrie entstanden, die ich wiederholt in Gottingen, Mainz und Bonn gehalten habe. Mit dieser Vorlesung verfolgte ich das Ziel, den Studenten mittlerer Semester, die die Anfangervorlesungen gemeistert haben, eine Einfiihrung in die klassische Differentialgeometrie der Kurven und FIachen anzubieten und damit eine Alternative zu offerieren zu anderen Vorlesungen fiir mittlere Semester, wie etwa Funktionen theorie, Hohere Algebra oder Algebraische Topologie. Fiir den groBten Teil der Vorlesung wird nichts weiter als eine griindliche Kenntnis der Vorlesung iiber Analysis sowie die Kennt nis der reellen linearen Algebra und der euklidischen Geometrie vorausgesetzt. Nur in spiiteren Kapiteln, wo ich auch globale Fragen behandle, ist eine gewisse Vertrautheit mit der Topologie kompakter Fliichen von Nutzen; dabei wird aber nichts benutzt, was sich nicht in dem klassischen Topologie-Lehrbuch von Seifert und Threlfall findet. Fiir eine Obersicht iiber den Inhalt der Vorlesung verweise ich auf das Verzeichnis. Natiirlich muBte ich eine Auswahl treffen aus der Fiille des Materials, das fiir eine solche Vorlesung zur Verfiigung steht. Fiir mich ergab es sich ganz von seIber, daB da bei solche Gegenstiinde bevorzugt wurden, die der 2-dimensionalen riemannschen Geometrie zuzurechnen sind. Dennoch denke ich, daB meine Vorlesung eine brauchbare Grundlage fiir das Verstiindnis aller Teilgebiete der Differentialgeometrie liefert. 0. Differentialrechnung im euklidischen Raum.- 0.1 Der euklidische Raum.- 0.2 Die Topologie des euklidischen Raumes ?n.- 0.3 Differentiation in ?n.- 0.4 Tangentialrume.- 0.5 Lokal injektive und lokal surjektive Abbildungen.- 1. Kurven – Allgemeine Theorie.- 1.1 Grundlegende Definitionen.- 1.2 Das begleitende n-Bein.- 1.3 Die Ableitungsgleichungen von Frenet.- 1.4 Ebene Kurven.- 1.5 Raumkurven.- 1.6 Aufgaben.- 2. Ebene Kurven im Groen.- 2.1 Die Umlaufzahl.- 2.2 Der Umlaufsatz.- 2.3 Konvexe Kurven.- 2.4 Aufgaben und Lehrstze.- 3. Lokale Flchentheorie.- 3.1 Grundlegende Definitionen.- 3.2 Die erste Fundamentalform.- 3.3 Die zweite Fundamentalform.- 3.4 Kurven auf Flchen.- 3.5 Die Krmmungen einer Flche.- 3.6 Lokale Normalform und spezielle Parameter.- 3.7 Einige spezielle Flchen.- 3.8 Die Ableitungsgleichungen.- 3.9 Aufgaben und Lehrstze.- 4. Innere Flchentheorie: Lokale Theorie.- 4.1 Kovariante Ableitung.- 4.2 Parallelverschiebung.- 4.3 Geodtische.- 4.4 Flchen konstanter Krmmung.- 4.5 Aufgaben und Lehrstze.- 5. 2-dimensionale riemannsche Geometrie.- 5.1 Die lokale riemannsche Geometrie.- 5.2 Das Tangentialbndel und die Exponentialabbildung.- 5.3 Geodtische Polarkoordinaten.- 5.4 Jacobifelder.- 5.5 Mannigfaltigkeiten.- 5.6 Differentialformen.- 5.7 Aufgaben und Lehrstze.- 6. Flchentheorie im Groen.- 6.1 Flchen im euklidischen Raum.- 6.2 Eiflchen.- 6.3 Der Integralsatz von Gau-Bonnet.- 6.4 Metrik und Vollstndigkeit.- 6.5 Konjugierte Punkte und Krmmung.- 6.6 Einflu der Krmmung auf die Geometrie der Flche.- 6.7 Geschlossene Geodtische und Fundamentalgruppe.- 6.8 Aufgaben und Lehrstze.- Literaturhinweise.- Namen- und Sachverzeichnis.
