Description
Altere Lehrbcher der Mathematik pflegten damit zu beginnen, die Frage nach dem Wesen der Mathematik und ihrer einzelnen Teilgebiete zu beantworten, ja, geradezu Definitionen dieser Be griffe zu geben. Wir sind heute davon abgekommen. Mit Recht! Denn eine solche Frage gehrt nicht an den Anfang, sondern an den Schlu einer gewissen Beschftigung mit Mathematik. Erst wenn man bereits etwas von der Mathematik kennengelernt hat, erscheint es angebracht, sich einmal ber die mathematische Methode, ber den Aufbau des Lehrgutes und ber seine Grundlage klarzuwerden. Es haben zahlreiche frhere Lehrplne fr hhere Schulen einen “wiederholenden Aufbau des Zahlbegriffes” in die Ober klassen verlegt. Es haben die Meraner Vorschlge und nach ihnen andere moderne Stoffplne als Abschlu des mathematischen Unterrichts “Rckblicke unter Heranziehung geschichtlichEUR'[ und philosophischer Gesichtspunkte” gefot:dert. Die preuischen Richt linien vom Jahre 1925 legten sowohl in den methodischen Bemerkungen wie in den Lehrplnen groen Nachdruck auf derartige philosophisch vertiefte Rckblicke: “Logik und Er kenntnistheorie finden einen Platz in der Mathematik. Auch die psychologischen Grundlagen des mathematischen Denkens soll der Unterricht berhren. Einzelfragen wie Zahlen- und Raumvor stellungen sind nach Mglichkeit philosophisch zu vertiefen- so heit es in ihnen. Auch die Marienauer Vorschlge (1945), um wenigstens einen der neuen Plne zu nennen, fordern: “Aufbau und Grundlage der Mathematik: Entwicklung des Zahl-und Funk tionsbegriffes, axiomatisches Verfahren der Grundlegung am Bei spiel der Geometrie, Ausblicke auf Logik und Erkenntnislehre. Erstes Kapitel: Die Logik im Aufbau der Mathematik.- 1. Grundbegriffe der Logik.- 2. Der Begriff.- 3. Verhltnisse zweier Begriffe.- 4. Begriffsreihen.- 5. Definitionen.- 6. Einige Forderungen an die Definitionen.- 7. Erweiterung von Definitionen.- 8. Einfhrung idealer Elemente.- 9. Definitionsfehler.- 10. Namen und Zeichen fr Begriffe.- 11. Urteil.- 12. Andere Arten von Urteilen.- 13. Art und Herkunft der Urteile.- 14. Vier logische Grundgesetze.- 15. Unmittelbare Schlsse.- 16. Mittelbare Schlsse.- 17. Induktive und deduktive Methode.- 18. Der Beweis.- 19. Beweisfehler.- 20. Notwendige und hinreichende Bedingung und Umkehrung von Lehrstzen.- 21. Direkte und indirekte Beweise.- 22. Vollstndige Induktion.- 23. Unmglichkeitsbeweise.- 24. Mannigfaltigkeit von Beweisen.- 25. Das Verhltnis von Definition und Lehrsatzgefge.- 26. Der Aussagenkalkl der Logistik.- 27. Der Funktions- oder Prdikatenkalkl.- Zweites Kapitel: Grundlegung der Geometrie.- 1. Geschichtliche und psychologische Entwicklung.- 2. Grundbegriffe.- 3. Der Begriff Flche.- 4. Der Begriff der Kurve.- 5. Der Begriff der Lnge.- 6. Praktische Erzeugung von Gerade und Ebene.- 7. Arithmetisierung der Geometrie.- 8. Forderungen und Grundgesetze bei Euklid.- 9. Was sind Axiome?.- 10. Vollstndigkeit des Axiomensystems.- 11. Die Axiome der Verknpfung.- 12. Die Unabhngigkeit der Axiome.- 13. Geometrie als Beziehungslehre.- 14. Beispiele von Bildgeometrien.- 15. Ausfallsgeometrie.- 16. Widerspruchslosigkeit.- 17. Die Axiome der Anordnung.- 18. Die Axiome der Verknpfung und die Wirklichkeit.- 19. Die Axiome der Anordnung und die Wirklichkeit.- 20. Unterschied zwischen Axiomenraum und Sinnenraum.- 21. Die Anschauung.- 22. Trugschlsse.- 23. Der Begriff der Kongruenz.- 24. Die Gruppe der Kongruenzaxiome.- 25. Freiheit in der Wahl der Grundbegriffe.- 26. Parallelenaxiom und nichteuklidische Geometrie.- 27. Die nichteuklidischen Geometrien.- 28. Zerlegungsgleichheit und archimedisches Axiom.- 29. Zerlegungsgleichheit, Ergnzungsgleichheit, Flchengleichheit.- 30. Das Vollstndigkeitsaxiom.- 31. Der vierdimensionale Raum.- 32. Die regelmigen Polytope im vierdimensionalen Raum.- 33. Polytope im mehrdimensionalen Raum.- 34. Der Weg vom Sinnenraum zur abstrakten Geometrie.- 35. Der Weg von der abstrakten Geometrie zum Sinnenraum.- Drittes Kapitel: Grundlegung der Arithmetik.- 1. Zahl und Zhlen.- 2. Die vier Grundrechenarten im Bereiche der natrlichen Zahlen.- 3. Der Bereich der rationalen Zahlen.- 4. Die Rechenoperationen im erweiterten Zahlbereich.- 5. Verbot der Division durch Null.- 6. Widerspruchslosigkeit.- 7. Die Rechenoperationen dritter Stufe.- 8. Die Irrationalzahlen.- 9. Der Dedekindsche Schnitt.- 10. Komplexe Zahlen.- 11. Axiome der Arithmetik.- 12. Unabhngigkeit der Axiome.- 13. Zurckfhrung auf Axiome fr die natrlichen Zahlen.- 14. Peanos Axiomensystem fr natrliche Zahlen.- 15. Peanos Axiomensystem in Begriffsschrift.- 16. Die vollstndige Induktion.- 17. Der Begriff der Menge.- 18. Begriff der quivalenz.- 19. quivalenzuntersuchungen.- 20. Die reellen Zahlen sind nicht abzhlbar.- 21. Kontinuumsuntersuchungen.- 22. Mengen, die weder abzhlbar noch Kontinuum sind.- 23. Transfinite Zahlen.- 24. Paradoxien der Mengenlehre.- 25. Geordnete Mengen.- 26. hnlichkeit geordneter Mengen.- 27. Vom Rechnen mit Ordnungstypen.- Viertes Kapitel: Grundlegung der Analysis.- 1. Unendlich als Anzahlbezeichnung.- 2. Naive Benutzung von Grenzwerten.- 3. Unendliche Folgen.- 4. Das Rechnen mit Grenzwerten.- 5. Die Irrationalzahl.- 6. Unendliche Reihen.- 7. Die Vernderliche.- 8. Die Funktion.- 9. Grenzwerte von Funktionen.- 10. Stetigkeit.- 11. Differenzierbarkeit.- 12. Differentiale.- 13. Flcheninhalt und Integral.- 14. Rauminhalt, Cavalierisches Prinzip, Grenzbergang.- 15. Bestimmtes und unbestimmtes Integral.- 16. Fortschreitender Abstraktionsproze in der Mathematik.- 17. Begriffliche Vereinheitlichung in der Mathematik.- Fnftes Kapitel: Mathematik und Erkenntnislehre.- 1. Fragen an die Philosophie.- 2. Der Logismus.- 3. Der Empirismus.- 4. Der Formalismus.- 5. Mathematik und Forschung.- 6. Mathematik und Lehre.- 7. Der Kritizismus.- 8. Der Konventionalismus.- 9. Der Intuitionismus.- 10. Angewandte Mathematik.- 11. Mathematik und Erziehung.
