Description
Hauptthema dieses zweiten Bandes ist die Differential- und Integralrechnung fr Funktionen von mehreren Vernderlichen. Dabei wird auch das Lebesguesche Integral im Rn behandelt. Dem erfolgreichen Konzept von “Analysis 1” folgend, wird viel Wert auf historische Zusammenhnge, Ausblicke und die Entwicklung der Analysis gelegt. Zu den Besonderheiten, die ber den kanonischen Stoff des zweiten Semesters hinausgehen, gehren das Morsesche und das Sardsche Lemma, die C?-Approximation von Funktionen (Mollifiers) und die Theorie der absolutstetigen Funktionen. Zahlreiche Beispiele, bungsaufgaben und Anwendungen, z.B. aus der Physik und Astronomie, runden dieses Lehrbuch ab. Der Abschnitt “Lsungen und Lsungshinweise” wurde fr die Neuauflage wesentlich erweitert, so da die berwiegende Zahl der Aufgaben im Buch nun besprochen oder vollstndig gelst wird. 1. Metrische Rume. Topologische Grundbegriffe.- 1.1 Der n-dimensionale euklidische Raum ?n.- 1.2 Konvergenz. Satz von Bolzano-Weierstra.- 1.3 Die Regeln von de Morgan.- 1.4 quivalenzrelation.- 1.5 Metrischer Raum.- 1.6 Konvergenz und Vollstndigkeit.- 1.7 Normierter Raum und Banachraum.- 1.8 Die Maximumnorm.- 1.9 Innenproduktraum und Hilbertraum.- 1.10 Der Hilbertsche Folgenraum l2.- 1.11 Innerer Punkt, Randpunkt, Hufungspunkt.- 1.12 Offene und abgeschlossene Mengen.- 1.13 Satz ber Inneres, Rand und abgeschlossene Hlle.- 1.14 Charakterisierung der abgeschlossenen Hlle.- 1.15 Metrischer Teilraum.- 1.16 Kompakte Mengen.- 1.17 Abstand zwischen Mengen. Umgebungen von Mengen.- 1.18 Orthogonalitt und Winkel im ?n.- 1.19 Unterrume und Ebenen im ?n.- 1.20 Gerade, Strecke, Polygonzug.- 1.21 Hyperebenen und Halbrume.- 1.22 Konvexe Mengen.- 1.23 Konvexe Funktionen.- Aufgaben.- 2. Grenzwert und Stetigkeit.- 2.1 Grenzwert und Stetigkeit.- 2.2 Schwankung einer Funktion. Limes superior und Limes inferior.- 2.3 Stetigkeitsmodul.- 2.4 Komposition stetiger Funktionen.- 2.5 Stetige vektor- und skalarwertige Funktionen.- 2.6 Polynome in mehreren Vernderlichen.- 2.7 Stetigkeit bezglich einzelner Vernderiichen.- 2.8 Lineare Abbildungen.- 2.9 Stetigkeit und Kompaktheit.- 2.10 Extremwerte bezglich einzelner Variablen.- 2.11 Satz ber die gleichmige Stetigkeit.- 2.12 Satz ber die Stetigkeit der Umkehrfunktion.- 2.13 Das Halbierungs verfahren.- 2.14 Offene berdeckungen kompakter Mengen.- 2.15 Gleichmige Konvergenz.- 2.16 Satz von Dini.- 2.17 Weierstrasches Majorantenkriterium.- 2.18 Potenzreihen in mehreren Vernderiichen.- 2.19 Fortsetzung stetiger Funktionen. Satz von Tietze.- 2.20 Landau-Symbole.- Aufgaben.- 3. Differentialrechnung in mehreren Vernderlichen.- 3.1 Partielle Ableitungen. Gradient.- 3.2 Graphische Darstellung einer Funktion. Hhenlinien.- 3.3 Vertauschung der Reihenfolge der Differentiation.- 3.4 Der allgemeine Fall.- 3.5 Funktionalmatrix und Funktionaldeterminante.- 3.6 Hhere Ableitungen. Die KlassenCk.- 3.7 Lineare Differentialoperatoren.- 3.8 Differenzierbarkeit und vollstndiges Differential.- 3.9 Satz ber Stetigkeit.- 3.10 Die Kettenregel.- 3.11 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 3.12 Richtungsableitungen.- 3.13 Der Satz von Taylor.- 3.14 Das Taylorpolynom.- 3.15 Die Taylorsche Reihe.- 3.16 Flche und Tangentialhyperebene.- 3.17 Die Hessematrix.- 3.18 Differentiation im Komplexen. Holomorphie.- 3.19 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.- 3.20 Bewegung, winkeltreue und konforme Abbildung.- Aufgaben.- 4. Implizite Funktionen. Maxima und Minima.- 4.1 Fixpunkte kontrahierender Abbildungen. Kontraktionsprinzip.- 4.2 Einige Hilfsmittel. Lipschitzbedingung im ?n.- 4.3 Das Newton-Verfahren.- 4.4 Implizite Funktionen.- 4.5 Satz ber implizite Funktionen.- 4.6 Umkehrabbildungen. Diffeomorphismen.- 4.7 Offene Abbildungen.- 4.8 Quadratische Formen.- 4.9 Maxima und Minima.- 4.10 Das Fermatsche Kriterium fr lokale Extrema.- 4.11 Hinreichende Bedingung fr ein Extremum.- 4.12 Extrema mit Nebenbedingungen.- 4.13 Lagrangesche Multiplikatorenregel.- 4.14 Corollar (Lagrangesche Multiplikatorenregel).- 4.15 Lokale Klassifikation von glatten Funktionen.- 4.16 Lenmia von Marston Morse.- Aufgaben.- 5. Allgemeine Limestheorie. Wege und Kurven.- 5.1 Gerichtete Menge und Netz.- 5.2 Der Grenzwert eines Netzes.- 5.3 Konvergenzkriterium von Cauchy.- 5.4 Reellwertige Netze.- 5.5 Monotone Netze.- 5.6 Das Riemann-Integral als Netzlimes.- 5.7 Netzlimes fr Teilintervalle.- 5.8 Konfinale Teilfolgen.- 5.9 Metrische Ordnung und Riemannsche Summendefinition des Integrals.- Wege und Kurven.- 5.10 Weg und Kurve.- 5.11 Die Weglnge.- 5.12 Die Weglnge als Funktion von t.- 5.13 quivalente Darstellungen, Orientierung.- 5.14 Die Lnge einer Kurve.- 5.15 Die Bogenlnge als Parameter.- 5.16 Tangente und Normalenebene.- 5.17 Ebene Kurven, positive Normalen.- 5.18 Krmmung und Krmmungsradius.- 5.19 Ebene Kurven.- 5.20 Funktionen von beschrnkter Variation.- 5.21 Darstellungssatz von C, Jordan.- 5.22 Satz ber Rektifizierbarkeit.- Anwendung: Die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung.- 5.23 Die Bewegungsgleichungen.- 5.24 Die Lsung des Zweikrperproblems.- 5.25 Satz ber das Zweikrperproblem.- 5.26 Eindeutigkeitssatz.- 5.27 Historisches zu den Keplerschen Gesetzen.- Aufgaben.- 6. Das Riemann-Stieltjes-Integral. Kurven- und Wegintegrale.- 6.1 Das Riemann-Stieltjes-Integral.- 6.2 Eigenschaften des Riemann-Stieltjes-Integrals.- 6.3 Partielle Integration.- 6.4 Transformation in ein Riemann-Integral.- 6.5 Weitere Beispiele.- 6.6 Bemerkungen.- 6.7 Mittelwertstze fr Riemann-Stieltjes-Integrale.- 6.8 Zweiter Mittelwertsatz fr Riemannsche Integrale.- 6.9 Kurvenintegrale bezglich der Bogenlnge.- 6.10 Eigenschaften von Kurvenintegralen.- 6.11 Anwendungen: Masse, Schwerpunkt, Trgheitsmoment.- 6.12 Wegintegrale.- 6.13 Eigenschaften und Rechenregeln fr Wegintegrale.- 6.14 Vektorfelder.- 6.15 Bewegung in einem Kraftfeld.- 6.16 Gradientenfelder. Stammfunktion und Potential.- 6.17 Die Integrabilittsbedingung.- 6.18 Nochmals Kraftfelder.- 6.19 Komplexe Wegintegrale.- 6.20 Integralsatz von Cauchy.- 6.21 Satz ber Stammfunktionen.- Aufgaben.- 7. Jordanscher Inhalt und Riemannsches Integral im ?n.- 7.1 Anforderungen an den Inhaltsbegriff.- 7.2 Zerlegungen eines Intervalls.- 7.3 Intervallsunmien.- 7.4 uerer und innerer Inhalt. Jordan-Inhalt.- 7.5 Wrfelsummen.- 7.6 Quadrierbare Mengen. Satz.- 7.7 Produktmengen, Produktregel.- 7.8 Abbildungen von Mengen.- 7.9 Lineare Abbildungen.- Das Riemann-Integral im ?n.- 7.10 Definition und einfache Eigenschaften des Integrals.- 7.11 Satz ber gliedweise Integration.- 7.12 Jordanscher Inhalt und Riemannsches Integral.- 7.13 Die Riemannsche Summendefinition des Integrals.- 7.14 Parameterabhngige Integrale.- 7.15 Iterierte Integrale. Der Satz von Fubini.- 7.16 Das Cavalierische Prinzip.- 7.17 Die Abbildung von Gebieten. Das Lemma von Sard.- 7.18 Transformation von Integralen. Die Substitutionsregel.- 7.19 Beispiele. 1. Ebene Polarkoordinaten. 2. Zylinderkoordinaten.- 3. Kugelkoordinaten. 4. Polarkoordinaten im ?n.- 7.20 Uneigentliche Integrale.- 7.21 Beispiele. Die Eulersche Betafunktion.- 7.22 Die Faltung.- 7.23 Approximation durch C? -Funktionen. Mittelwerte.- 7.24 Der Weierstrasche Approximationssatz.- 7.25 Masse und Schwerpunkt.- 7.26 Potential einer Massenbelegung.- 7.27 Rotationssynmietrische Massenbelegungen.- Aufgaben.- 8. Die Integralstze von Gau, Green und Stokes.- 8.1 Gauscher Integralsatz in der Ebene.- 8.2 Vektorprodukt und Parallelogranmiflche.- 8.3 Flchen im ?n.- 8.4 Der Inhalt einer Flche im ?n.- 8.5 Oberflchenintegrale.- 8.6 Gauscher Integralsatz im ?n.- 8.7 Physikalische Bedeutung des Gauschen Satzes. Geschwindigkeitsfelder.- Wrmeleitung.- 8.8 Gramsche Matrizen und Determinanten.- 8.9 Der Inhalt von m-dimensionalen Flchen im ?n.- 8.10 DerFall m = n-l.- 8.11 Die Rotation eines Vektorfeldes.- 8.12 Der Satz von Stokes.- Aufgaben.- 9. Das Lebesgue-Integral.- 9.1 Mathematische Vorbereitung. Das Rechnen in ?.- 9.2 Intervalle. Darstellung von offenen Mengen.- 9.3 Mengen. Algebren und ?-Algebren.- 9.4 Das uere Lebesgue-Ma.- 9.5 Das Lebesguesche Ma. Hauptsatz.- 9.6 Offene Mengen und G?-Mengen.- 9.7 Das Lebesguesche Integral im ?n.- 9.8 Nichtnegative Funktionen.- 9.9 Mebare Funktionen.- 9.10 Treppenfunktionen und Elementarfunktionen.- 9.11 Mebarkeit und Integrierbarkeit.- 9.12 Funktionen mit Werten in ?p und ?.- 9.13 Satz von Beppo Levi.- 9.14 Satz von der majorisierten Konvergenz.- 9.15 Lemma von Fatou.- 9.16 Das Prinzip von Cavalieri.- 9.17 Die Produktformel.- 9.18 Satz von Fubini.- 9.19 Die Substitutionsregel.- 9.20 Die ?p-Rume. Hldersche und Minkowskische Ungleichung.- 9.21 Dichtesatz.- Das Lebesgue-Integrai in ?.- 9.22 Absolutstetige Funktionen.- 9.23 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.- 9.24 berdeckungssatz von Vitali.- 9.25 Satz ber das Ma der Bildmenge.- 9.26 Satz ber Differenzierbarkeit monotoner Funktionen.- 9.27 Satz ber das Integral der Ableitung.- 9.28 Abschlu des Beweises.- 9.29 Satz ber Absolutstetigkeit.- 9.30 Partielle Integration.- 9.31 Die Substitutionsregel fr n = 1.- 9.32 Ausblicke.- 1. Integration in abstrakten Marumen..- 2. Das Lebesgue-Stieltjes-Ma.- 3. Der Fall n = 1.4. Integration im Banachraum. Das Bochner-Integral.- Aufgaben.- 10. Fourierreihen.- 10.1 Trigonometrische Reihe und Fourierreihe. Rechenregeln.- 10.2 Satz von Riemann-Lebesgue.- 10.3 Satz.- 10.4 Konvergenzsatz.- 10.5 Konvergenzsatz fr Sprungstellen.- 10.6 Gerade und ungerade Fortsetzung.- 10.7 Umrechnung auf andere Periodenlngen.- 10.8 Riemannscher Lokalisationssatz.- 10.9 Gleichmige Konvergenz.- Die Hilbertraumtheorie der Fourierreihen.- 10.10 Orthonormalfolgen im Hilbertraum.- 10.11 Fourierreihen bezglich einer Orthonormalfolge.- 10.12 Konvergenzsatz.- 10.13 Vollstndigkeit einer Orthonormalfolge.- 10.14 Der Hilbertraum chen cong thuc.- 10.15 Satz ber Konvergenz im quadratischen Mittel.- 10.16 Nochmals Absolutkonvergenz.- Aufgaben.- Lsungen und Lsungshinweise zu ausgewhlten Aufgaben.- Literatur.- Bezeichnungen.- Namen- und Sachverzeichnis.
