Description
In diesem Buche sind Ergebnisse aus meiner langjhrigen Ttigkeit als Lehrer fr Mathematik niedergelegt. Es war mir stets ein besonderes Anliegen grund stzlich im Unterricht alle Leitmotive und Fragestellungen zu entwickeln und klar herauszustellen, die zur Auffindung der Lsungen mathematischer Probleme fhren. Da eine solche Unterrichtsweise in hervorragendem Mae der Er ziehung zu selbstndigem, schpferischem Denken frderlich ist, liegt auf der Hand. Der mathematische Unterricht erhebt sich dadurch ber das rein Fach liche hinaus zu einer Schulung in der Methodik des Denkens. Im Interesse der Lebendigkeit und konkreten Falichkeit der Darbietung des Stoffes werden jeweils zunchst Musterlsungen fr eine Reihe von Beispielen vorangestellt, aus denen dann erst die oft nur recht allgemein formulierbaren Erkenntnisse in Gestalt von Lsungsprinzipien hergeleitet werden. Die Erlu terung derselben ist so von vornherein gegeben. Ein Anspruch auf Vollstndig keit der Prinzipien wird nicht erhoben. Die Beispiele sind dem Lehrstoff der hheren Schulen entnommen oder befassen sich mit Fragen, die sich dem Mathe matiklehrer im Zusammenhang mit seinem Unterricht aufzudrngen pflegen. Ein breiter Raum ist der Geometrie zugedacht worden, weil gerade hier die Phantasie gezwungen ist, die mannigfaltigsten Wege zur Auffindung von Lsungen einzuschlagen. Einfhrung.- I. Verstehen der Aufgabe.- “Mache Dir eine sorgfltige, bersichtliche Figur!”.- “Stelle klar und zergliedert alles Wesentliche heraus!”.- “Prfe sorgfltig jedes wesentliche Wort auf seinen begrifflichen Inhalt!”.- “Prfe, ob die Aufgabe einen Sinn hat und eindeutig formuliert ist!”.- II. Entwerfen des Lsungsplans.- Allgemeines.- Das funktionale Denken.- Die Rolle der Phantasie, die Bedeutung der Analogie.- Die Auswertung einer Analogie.- Der Sinn einer Lsung.- Allgemeine Richtlinien fr einen Lsungsplan.- 1: Erstellung und statische Erkundung einer Figur.- 1. Beispiel. Flchenverhltnis zweier Dreiecke – 2 Lsungen.- 2. Beispiel. Satz des Menelaos – 2 Lsungen.- 3. Beispiel. Satz des Ceva – 2 Lsungen.- 4. Beispiel. Peripheriewinkel im Kreis.- 5. Beispiel. Satz des Pappus.- 6. Beispiel. Gleiche Abschnitte auf einer Kreissehne erzeugt durch die Schenkel eines Peripheriewinkels – 4 Lsungen.- 7. Beispiel. Schwerpunktskonfiguration eines Tripels gleichseitiger Dreiecke ber den Seiten eines beliebigen Dreiecks – 2 Lsungen und Erweiterung.- 8. Beispiel. Satz des Ptolemus und Erweiterung des Satzes von Simson – 2 Lsungen.- 9. Beispiel. Einbeschreibung eines gegebenen Dreiecks in ein anderes gegebenes.- 10. Beispiel. Trigonometrische Vermessungsaufgabe. Die elegante Lsung – 3 Lsungen.- 11. Beispiel. Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks durch Auswertung einer formalen Analogie.- 12. Beispiel. Eine Konfiguration nach Beispiel 7 soll drei vorgegebene Punkte als freie Ecken haben. Die scharfsinnige Lsung.- Zusammenfassung von 1.- Beweggrnde zum Ziehen von Hilfslinien.- 2: Die dynamische Erkundung einer Figur.- Allgemeines dazu.- 13. Beispiel. Reflexion eines Lichtstrahls aus gegebenem Punkt in einen andern an einer gegebenen Geraden – 3 Lsungen. Sinn einer Spiegelung eines Punktes an einer Geraden.- 14. Beispiel. Dreieck kleinsten Umfangs einem gegebenen Dreieck einbeschrieben (Fejer).- 15. Beispiel. Neue Lsung von Beispiel 6. Zwei Beweise hierzu.- 16. Beispiel. Problem des Apollonius. Erste Lsung.- 17. Beispiel. a) Problem des Apollonius. Zweite Lsung.- 17. Beispiel. b) Spitzbogenfensteraufgabe. Drei Lsungen.- 18. Beispiel. Die Drehstreckung.- Transversalenteilungsaufgabe eines Dreiecks – 2 Lsungen.- Transversale vorgegebenen Teilverhltnisses durch vier gegebene Gerade.- Neue Lsung zu Beispiel 9.- Zweite Art von Drehstreckung.- 19. Beispiel. Die Seiten eines Dreiecks, das einem gegebenen Dreieck einzubeschreiben ist, sollen zu drei gegebenen Geraden parallel sein.- 20. Beispiel. Kreissehne mit gegebenem Teilverhltnis durch gegebenen Punkt – 6 Lsungen.- 21. Beispiel. Verwandlung eines Vierecks.- 22. Beispiel. Ein Dreieck mit einer gegebenen Seite und gegebenen Richtungen der beiden anderen Seiten einem gegebenen Dreieck einzubeschreiben – 2 Lsungen.- 23. Beispiel. Dritte Lsung zu Beispiel 7 und Erweiterung desselben durch stetige berfhrung.- 24. Beispiel. Das Kriterium fr Gemeinsamkeit des Schwerpunkts zweier Dreiecke – 2 Lsungen.- 25. Beispiel. Schiffskursaufgabe nach Polya—–:.- Zusammenfassung zu 2.- Einzelfall, Spezialfall, Grenzfall, Erweiterungsfall.- Spezialflle vom Rang einer vollkommenen Analogie.- Sonstige Abnderungsmglichkeiten einer Figur.- Die speziellen Bedingungen eines Problems als Ausgangspunkt jeder Problemlsung.- 26. Beispiel. Gemeinsame Tangenten an gegebene Parabel und gegebenen Kreis um deren Brennpunkt. Erweiterung der Aufgabe.- 3: “ndere das Problem ab!”.- 27. Beispiel. Lsung zweier Gleichungen zweiten Grades mit zwei Unbekannten.- 28. Beispiel. Diophantische Gleichung.- 29. Beispiel. Lsung der Gleichung vierten Grades.- 30. Beispiel. Konstruktion eines Dreiecks aus seinen drei Hhen -.- 2 Lsungen.- 31. Beispiel. Konstruktion eines Schnenvierecks aus seinen vier Seiten.- 32. Beispiel. Ein Kreis soll auf zwei Seiten eines Dreiecks Sehnen gleicher gegebener Gre auf der dritten eine andere Sehne gegebener Lnge ausschneiden.- 33. Beispiel. I. Drei von einem Punkt ausgehende Strahlen sollen einen gesuchten Kreis in einem Durchmesser und zwei Sehnen gegebener Lnge schneiden.- II. Eine Strecke auf einer gegebenen Geraden soll von zwei gegebenen Punkten aus unter gegebenem Winkel erscheinen.- 34. Beispiel. Einem gegebenen Kreise ein Sehnenviereck aus zwei gegebenen Gegenseiten und der Summe der beiden andern ein-zubeschreiben.- 35. Beispiel. Eine Transversale in einem Dreieck ist so lang wie jeder der beiden “untern” Abschnitte auf den begrenzenden Seiten.- 36. Beispiel. Aufgabe ber elliptisches Kreisbschel – 2 Lsungen.- 37. Beispiel. Satz von Desargues.- 38. Beispiel. Tangente und Flche einer Ellipse durch Projektion eines Kreises.- Zentralprojektion, allgemeine Abbildung und Inversion.- 39. Beispiel. Steinerscher Schlieungssatz.- 40. Beispiel. Grenzbetrachtung zu 30. Beispiel.- Die geometrische Deutung arithmetischer Verhltnisse.- 41. Beispiel. Die Gleichung: a cos ? + b sin ? – c = 0 – 2 Lsungen.- 42. Beispiel. Lage der komplexen Nullstellen der Ableitung einer ganzen algebraischen Funktion.- Zusammenstellung zu 3.- 4: “Lse geometrische Probleme auf algebraischem Wege”.- Allgemeines.- Die Aufstellung von Gleichungen.- Die Lsung mit Zirkel und Lineal.- 43. Beispiel. Vierte Lsung zu Beispiel 7.- 44. Beispiel. Verallgemeinerung des 11. Beispiels.- 45. Beispiel. Dreieck aus seinen drei Winkelhalbierenden.- III. Durchfhrung des Lsungsplans, Rckblick, Ausblick.
